潘一力

立体几何研究的对象是各种几何体.“等腰翻折体”模型是一个备受命题者青睐的几何体基本模型.综观2023年的高考试题，全国新课标Ⅱ卷第20题和全国乙卷理科第19题都考查了这个模型.文章通过梳理高考试题和各省市模拟考试题，探究如何根据题干给出的条件，挖掘出基本模型，从而快速且模式化地解决问题.

引入空间向量后的立体几何问题，走上了代数 化的道路，这对许多空间想象能力较弱的学生来说 无疑是个福音． 对于题目中给出的常规几何结构， 如三线垂直、线面垂直、面面垂直，学生都能驾轻就 熟地建立起空间直角坐标系．许多以往觉得困难的 立体几何问题，只要通过程序化的运算就能解决．立体几何研究的对象是各种几何体，其中一些 因具有某些特征而被称为模型，如全等体、鳖臑体、 阳马体、墙角体等 ． 有一个几何体模型备受命题 者青睐，那就是“ 等腰翻折体” 模型．综观 ２０２３ 年全 国数学高考试题，新课标Ⅱ卷第 ２０ 题和乙卷理科 第 １９ 题都考查了这个模型． 笔者通过梳理近几年 高考试题以及各省市模考题，探究如何根据题干给 出的条件，挖掘“ 等腰翻折体” ，从而快速且模式化 地解决问题．

利用“等腰翻折体”解决立体几何问题的基本 步骤

第 １ 步，理清题干条件，找到“ 等腰翻折体” ． 值得关注的题干条件包括线段长度相同、角度相同、等边三角形、等腰三角形、直角三角形斜中 线、菱形等．若遇台体，则可尝试补全为锥体再找是 否存在等腰三角形，也可关注台体底面图形的边长 和夹角，在内部找等腰三角形．

第 ２ 步，以“ 等腰翻折体” 公共底边的中点为 原点建立空间直角坐标系．这样建系的好处是等腰翻折体的顶点在坐标 平面内，点的坐标越简单，后续向量的坐标运算越 简便．

第 ３ 步，求出“ 等腰翻折体” 顶点的坐标（ 几何 法、代数法） ，代数求解问题．

几何法需要找到等腰翻折体的二面角大小，通 常情况下是由这两个等腰三角形顶点在翻折后连 成的线段长度决定的． 代数法本质上就是方程思 想．由于等腰翻折体的建系方式使得一个顶点落在 坐标平面内，因此，点的坐标只含两个未知数，利用 两个条件转化为两个方程求解即可．

等腰翻折体在近几年的高考试题和模拟题中出现的频次很高，是一个值得引起教师和学生重视 的基本模型．它变化多端，不仅存在于三棱锥，也深 藏于四棱锥、斜棱柱和棱台之中． 两个同底的等腰 三角形的结构不仅会以长度相等的形式给出，也可 以以角度相等的形式出现．

“ 化静为动” 是利用等腰翻折体解决立体几何 问题的核心．在静态的图形中找到动态的等腰翻折 体，从而成功地建立空间直角坐标系，为定性证明 和定量求值做好铺垫． 熟悉基础模型，可以帮助学 生突破建系和设点的难度．