第五章 有理指数的幂函数
在前几章里，我们曾见到过形如y=x，y=x²，y=x³之类的函数。这些函数的特点是它们的解析式都是用自变量的某一个幂来表示的，我们把这一类函数叫做幂函数。
在代数第二册里我们已经知道，幂的指数不但可以是自然数，也可以是负整数、零或正、负分数；也就是说幂的指数可以是一般的有理数．我们把形如
y = xʳ( r 是有理数）
的函数叫做有理指数的幂函数①.
这类函数的定义域、性质和图象要根据 r 是哪一种有理数来分别讨论．在这一章里，我们将分别研究一些比较简单的、常见的幂函数。
§5.1函数 y=x³
我们先来看一个例子。
如果立方体一条棱的长是L厘米(原文为小写字母)，体积是 V 立方厘米，那末 V 和L之间的关系可以用公式
V=L³
来表示（图5.1)。很明显，当L取任何正数的时候，对于每一个L的值， V 都有一个确定的值和它对应，所以 V 是L的函
①函数 y = x⁰ ，当 x≠0时它的值总是1,所以这种函数不作专门研究。
数， L是自变量。函数的定义域是全体正数，即区间
0<1<+∞.
现在，我们来研究一般的用自变量x的三次幂给出的函数，就是函数y=x³
1．函数y=x³的定义域
因为不论 x 是什么实数值，x³
都有意义，所以函数y=x³ 的定义域是全体实数，也就是区间﹣∞<x<+∞.
图5.1
2．函数 y=x³的图象
我们可以用描点法近似地作出
函数 y=x³的图象，如图5.2所示．这个图象叫做三次抛物线（或抛物挠线）.
图5.2
从图上我们可以看出它有下面的性质：
(1）图象通过原点。
(2）图象落在第一和第三象限里．把坐标系围绕原点旋转180°,图象重合到原来的位置[例如P(x , y)旋转到P'(-x ,-y）的位置，而P'旋转到P的位置］，我们说图象是关于原点对称的①。
(3）图象从顶点起向右上方和左下方无限伸展．
(4）图象是从左到右逐渐上升的．
①点 P和点P'关于原点对称，是指 POP'在一条直线上，并且 PO的长度等于OP'的长度。很明显， P(x , y）关于原点的对称点是 P'(- x ,- y )。
上面我们从图象上看出的这些事实，也可从函数 y=x³ 这个关系式中直接推出：
(1）因为当 x=0时， y=0．所以它的图象通过原点。
(2）因为（-x)³=-x³，所以当自变量取两个互为相反的数的值的时候，对应的函数值也是互为相反的数。所以如果一点 P (x , y）在函数的图象上，那末必有另一点 P'(-x ,-y）也在函数的图象上，又当 x >0时， y >0，所以函数 y=x³的图象落在第一、第三象限里，而且是关于原点对称的。
(3）因为当 x 取正值而绝对值逐渐增加的时候， y 的对应值也逐渐增加，所以图象从原点起向右上方无限伸展。又因为当 x 取负值而绝对值逐渐增加的时候， y 的对应值是负值，它的绝对值也逐渐增加，所以图象从原点起向左下方无限伸展．
(4）因为当 x 的值逐渐增加的时候， y 的对应值也逐渐增加，所以图象从左到右逐渐上升．
精确地画出函数 y=x³的图象，就可利用它来求实数的近似立方。例如从图中可以读出
1.5³≈3.4.
我们还可以利用函数 y=x³的图象求三次方程的近似根．
例 求方程3x³+5x-15=0的近似根．
【解】先把原方程变形成下面的形式：
图5·3
作函数y=x³和
的图象（图5·3)，读出它们的交点的横坐标得
x≈1.4.
这就是所求的近似根。
习题5·1
1．作出下面各点关于原点的对称点：
A(2,-3), B(3,1),
C(0,-1), D(1,0).
2．作函数y=-x³的图象，并从图象上考察它有哪些特点。
3．在坐标纸上精确地画出函数 y=x³的图象。然后利用图象求下列方程的近似根（精确到0.1):
(1) x³+x-3=0;
(2) 3x³+5x-40=0.
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https://m.toutiao.com/is/ircUvN7c/ - 百科漫谈：名师彻底讲透初等函数(20)利用二次函数的图象解一元二次方程 - 今日头条
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下期预告：
§5.2 函数的一些重要性质
对比一下函数y=x²和函数y=x³的图象（图5.4)，不难看到它们具有一些不同的性质，例如：
函数 y =x²的图象关于 y 轴对称，但函数 y=x³ 的图象则关于原点对称。
函数 y=x²的图象，在 y 轴的左边是从左到右逐渐下降的，在 y 轴的右边则是从左到右逐渐上升的，但函数 y=x³的图象则是自左到右始终上升的。
函数 y=x²的图象，在x轴的上方，从原点起在 y 轴的两侧同时向上无限伸展，但是函数 y=x³的图象则从原点起向左下方和右上方无限伸展的．
下面我们来研究函数的这些性质．
1．偶函数和奇函数
函数 y=x²的图象关于 y 轴是对称的。我们把具有这种特征的函数叫做偶函数． f(x)是偶函数的标志是：当自变量x取一对互为相反的数的值时，函数的值不变，就是 f(-x)=f(x).
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