在泛函分析中，第一类型集和第二类型集是拓扑空间中的概念，它们基于集合的稠密性和无处稠密子集的定义。

‌第一类型集（First Category Set）‌：如果一个拓扑空间X的子集A可以表示为可数个无处稠密子集的并，则称A为X的第一类型集。换句话说，第一类型集是由可数个不包含任何内点的集合（即无处稠密子集）组合而成的。在实数空间中，有理数全体是第一类型集的一个例子，因为它可以表示为可数个孤立的点的并集，这些孤立的点在实数空间中形成了无数个小的、分散的集合，每个集合都不包含任何内点，因此整体上形成了第一类型集。‌第二类型集（Second Category Set）‌：与第一类型集相对，如果一个集合不是第一类型集，则称它为第二类型集。在数学上，这意味着该集合包含了某些具有内点的子集，即它不是由无数个不包含任何内点的集合组合而成的。在实数空间中，无理数全体是第二类型集的一个例子，因为它包含了实数的绝大部分，形成了实数空间中的稠密集，因此不可能是由无数个不包含任何内点的集合组合而成的。

这两个概念在Baire范畴定理中有重要的应用，该定理指出任何完备度量空间都是第二类型集。这个定理在泛函分析和相关领域中有着广泛的应用。

假设下面的大球是M1，绿色球是S(a1,p1)，蓝色球是S(a2,p2)。由于Mi是疏朗的，所以不管不同的Mi是否相交，按照假设，绿色球内不同的球套空间部分都不包含Mi的任何一个点：绿色球不包含M1的点，蓝色球不包含M2的点，等等。而这个结论与闭球套定理是矛盾的，从而定理得证。