2024年7月，数学家丹尼斯·盖茨戈里在马克斯·普朗克研究所的个人主页上，贴出了一篇名为《几何化朗兰兹猜想的证明第五部分：重（chong）数为一定理》（PROOF OF THE GEOMETRIC LANGLANDS CONJECTURE V：THE MULTIPLICITY ONE THEOREM）的论文的第一稿。

这篇长达51页的论文，标志着几何化朗兰兹猜想最终得以证明。这一猜想由菲尔兹奖得主弗拉基米尔·德林费尔德在1980年代提出。

2012年，丹尼斯·盖茨戈里与迪玛·阿林金发表了一篇150页论文《凝聚层的奇异支撑与几何化朗兰兹猜想》（SINGULAR SUPPORT OF COHERENT SHEAVESAND THE GEOMETRIC LANGLANDS CONJECTURE）。由此，在几何化朗兰兹猜想提出的二十多年后，第一次在数学上给出了这一猜想的精确描述。随后，在2013年，盖茨戈里给出了证明几何化朗兰兹猜想的整体思路框架。而完整的几何化朗兰兹猜想的证明，则前后花费了包括丹尼斯·盖茨戈里在内的9人团队十余年时间，共计五篇八百余页的论文才得以完成。菲尔兹奖得主彼得·舒尔茨将这一最新成果评价为“30年努力的巅峰”。

几何化朗兰兹猜想，属于朗兰兹纲领的一部分。作为现代数学研究中最大的单项项目，被称为“数学界的大一统理论”的朗兰兹纲领由数学家罗伯特·朗兰兹于1967年提出。这一纲领由包括几何化朗兰兹猜想在内的多个猜想组成。它深刻揭示了包括数论、代数几何、表示论、分析、量子力学等在内的数学和理论物理之间的内在联系。

朗兰兹纲领的提出，源自数学家们对于数学的一个普遍的信念。

绝大多数的数学家都愿意相信，数学是一个有机的整体，各个数学分支之间有着深刻的内在联系。例如，菲尔兹奖和阿贝尔奖得主、数学家阿蒂亚爵士就曾经说过：“数学是整个科学文化的一部分。即使我现在所做的数学部分与其他人的工作没有直接关系或者应用，我们也都是在为一个完整的、有机的思想集合做贡献。如果数学是一个完整的思想体系，每一个数学分支都可能对其他分支有着潜在的应用，那么我们都在为一个共同的目标作出贡献。如果把数学看成是各个分支之间互不相关的专业，大家都只关心自己的问题，有着自己的一套评判体系，那么就很难论证为什么要付钱让人们去做这件事。我们不是像网球运动员那样的艺人。唯一的理由是，这是对人类思想的真正贡献。即使我没有直接从事应用数学的工作，我也觉得我是在为数学作贡献，而这种贡献对于那些有兴趣将数学应用于其他事物的人来说是有用的。”

朗兰兹纲领在数学中的很多分支领域之间架起了“桥梁”。视觉中国|图

随着数学，特别是现代数学的发展，数学各个分支都在不断地深化。这也就导致数学各个分支之间所关心的问题和研究的方法、工具，乃至所使用的语言都在彼此之间渐行渐远。因此，对于数学内部的统一性工作，也就愈发重要了起来。而要进行这项工作，通常需要极富远见与洞察力的数学家。正如泛函分析的开创者、波兰数学家巴拿赫所说的：“优秀的数学家在定理或理论之间看到了类似，卓越的数学家则从类似中间看到了类似。”

在现代数学当中，有很多第一流的工作，都揭示了不同数学分支之间，存在着深刻的内在联系。朗兰兹纲领，就是其中极为宏大且深刻的一项工作。

在数学上，能够被称为“纲领”的工作，大概只有爱尔兰根纲领、希尔伯特纲领和朗兰兹纲领三个而已。这三个纲领，都在诞生后的几十年里，引领了数学的发展方向，并彻底地改变了此后数学这门学科的面貌。

爱尔兰根纲领由德国数学家菲利克斯·克莱因于1872年提出。那一年，克莱因发表了一篇题为《新几何研究上比较的观点》（Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen）的论文。自欧几里得以来的两千多年时间里，提起“几何”这个词，就意味着二维（平面几何）或者三维（立体几何）欧几里得空间的几何。但是到了克莱因所在的十九世纪，数学研究已经开始涉及关于四维以及更高维空间的几何学。与此同时，非欧几里得几何已经诞生；而在射影几何中，新的“点”（无穷远点，有复数坐标的点）已经被引入。

在这一背景下，克莱因认为，不同的几何是可以在统一框架下共存的，并且以对称性作为区分不同的几何的基本原则。即每种几何对应一个变换群，这种几何研究的对象是各种形体在相应变换群下不变的性质。

克莱因的爱尔兰根纲领彻底改变了数学家们对几何的认知。因为发表这篇论文时，克莱因当时在爱尔朗根-纽伦堡大学工作，所以这一纲领被称为爱尔兰根纲领。

希尔伯特纲领由希尔伯特在1920年代提出。这一纲领的目的，是雄心勃勃地想要建立一套能够将整个数学形式化的公理体系。按照希尔伯特的设想，他想要建立的形式化的数学公理体系应该满足三个条件。即：完备性：可以发现所有数学真命题；自洽性：数学内部不存在矛盾；可决定性：能够判断每一个数学命题的真伪。

但是，在不久之后的1931年，年仅25岁的数学家哥德尔证明并发表了两条日后被称作“哥德尔不完备定理”的数学定理。这两条定理表明，包含算术公理的数学体系是不完备的，同时也是不自洽的。

虽然希尔伯特雄心勃勃的形式主义纲领最终没有得以实现，但是这一纲领的提出，促进了数学界对于数学基础的认识，也彻底改变了自古以来数学家们描述数学的语言和研究数学的方式。

朗兰兹纲领由罗伯特·朗兰兹于1967年提出。

1967年1月6日，陈省身在当时位于普林斯顿大学的国防分析研究所做了一次演讲。当时在普林斯顿大学任助理教授的、刚刚30岁的朗兰兹早早地赶去听那次演讲。在那里朗兰兹遇到了同样早早来听演讲的、当时世界上最伟大的数学家之一安德烈·韦伊。作为一名年轻的数学工作者，朗兰兹向韦伊讲起了他最近的一些对于数学的想法。韦伊则建议朗兰兹把想到的东西以书信的形式写下来，然后把信寄给他。

不久之后，韦伊收到了来自朗兰兹的一封长达17页的信件。在信件的开头，朗兰兹谦逊地写道：“如果你愿意将其当作一份纯粹的推测，我将非常感激。如果不是的话，我相信你的手边应该刚好有一个废纸篓。”

在这封信当中，朗兰兹提到了两个数学分支，数论和调和分析。

数论是研究整数性质的数学分支，被认为是“最纯粹的数学领域”。哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、黎曼猜想等主要的数学猜想，都属于数论的范畴。在数论中，有一类很经典的问题，就是多项式方程的整数解，以及更进一步地，素数解的存在性和解的数量。例如，费马大定理的内容就是多项式方程x^n+y^n=z^n当n大于2时不存在整数解。

调和分析则是分析学中的一个主要的研究领域。这一领域主要研究怎样使用类似于三角函数这样的周期函数的叠加去表示一般的函数，以及使用傅里叶变换和傅里叶分析去研究函数的性质。自十九世纪以来，调和分析已在信号处理、量子力学、潮汐理论及神经科学等许多的领域中获得了广泛的应用。

长久以来，数学家们都认为，数论和调和分析是两个相互独立、毫不相干的数学分支。但是，朗兰兹发现，一类特殊的数论中的方程的素数解，和调和分析之间有着极其深刻的联系。与此同时，朗兰兹还发现，数论中的伽罗瓦表示，与分析中一类特殊的函数，自守函数之间，也存在着某种联系。朗兰兹写给韦伊的那封长信，就是在试图描述这种联系。这也构成了朗兰兹纲领最初的雏形。

在后来的研究中，朗兰兹纲领被推广到了更加广泛的形式，越来越多的数学分支被纳入朗兰兹纲领的范畴当中。与此同时，这些数学分支之间的各种联系也在不断地被发现。到现在，朗兰兹纲领已经成为了一个极为复杂的，几乎囊括了现在绝大多数纯数学分支和包括量子力学和理论物理在内的，有着各种内在联系的数学关系网。

正因为此，朗兰兹纲领被认为是“数学界的大一统理论”。

自朗兰兹纲领提出以来，有越来越多的数学家们投身其中。在这其中也产生了非常多的重要成果。正如1974年菲尔兹奖得主邦别里所说：“数学家们已经沿着朗兰兹的思想工作了25年，越来越多的证据说明事情正在按他所说的那样发展，他成了数学前进的一种推动力。”

仅就数学界的最高奖之一菲尔兹奖来看，就有四位菲尔兹奖得主的工作与朗兰兹纲领有关。

这其中最为知名的，就是安德鲁·怀尔斯证明费马大定理的工作。德国数学家格哈德·弗雷在1980年代指出，如果费马大定理不成立，那么借由椭圆曲线和模形式的相关理论，就会得到谷山-志村猜想的一个反例。在格哈德·弗雷提出这一思路的十几年之后，怀尔斯在1995年证明了谷山-志村猜想的一种特殊情况，并由此证明了费马大定理。

这里的椭圆曲线，是有着深刻数论性质的集合对象，而模形式，则是一类特殊的自守形式。由此就可以看出，所谓的谷山-志村猜想，本身也可以看做是包含在朗兰兹纲领中的一个猜想。而费马大定理的证明，也体现了朗兰兹纲领的威力。

除了怀尔斯之外，还有三位数学家因为解决了朗兰兹纲领中的某些问题而获得了菲尔兹奖。

第一位因为研究朗兰兹纲领而获得菲尔兹奖的是乌克兰数学家弗拉基米尔·德林费尔德。他证明了有限域上的代数曲线函数域上关于GL_2的朗兰兹猜想。这是整个朗兰兹纲领中一个极其特殊但颇为重要的情形。德林费尔德因为这项工作，获得了1990年的菲尔兹奖。

第二位因为研究朗兰兹纲领而获得菲尔兹奖的是法国数学家洛朗·拉福格。拉福格沿着德林费尔德的工作，向前更进一步，证明了朗兰兹猜想在特征为正的代数曲线函数域的GL_n上都是成立的。因为这项工作，在2002年北京举行的第24届国际数学家大会上，拉福格获得了菲尔兹奖。

第三位因为研究朗兰兹纲领而获得菲尔兹奖的是越南和法国籍数学家吴宝珠。在整个朗兰兹纲领中，有一个极为重要，也极为基础的命题，被称作“基本引理”。朗兰兹和他的同事以及学生们曾经多次尝试证明这条基本引理。但是他们的方法，只能证明在某些极为特殊的情况下，基本引理是正确的。对于一般情况下的基本引理，一直没有得到证明。这也就使得研究朗兰兹纲领的数学家们，只能在假设“基本引理是正确的”这一前提下进行研究。

吴宝珠的工作结束了这项研究长期悬而未决的尴尬情况。他于2009年证明了基本引理。吴宝珠的这一工作被《时代》杂志评选为2009年十大科学进展之一。而吴宝珠也因此获得了2010年的菲尔兹奖。

谈到朗兰兹纲领和自己的工作时，吴宝珠说道：“我只是证明了纲领的基本引理，不是整个纲领。我们的下一个目标是整个朗兰兹纲领，基本引理只是它的基础，是其中一座小山峰。爬过这座山峰后，现在可以了望朗兰兹纲领了。前面是一座大山，我们的问题是如何爬上去。其中一件事是朗兰兹回来了，他将为我们指示解决整个纲领的新路线。我认为，整个纲领也许需要我一生的时间。”

直到今天，数学家们还在为朗兰兹纲领而努力着。这一领域的最新成果，就是本文开头提到的，由丹尼斯·盖茨戈里和山姆·拉斯金所领导的9人团队所完成的几何化朗兰兹纲领。值得一提的是，这9人当中，还包括清华大学丘成桐数学科学中心助理教授陈麟。

所谓几何化朗兰兹纲领，是原始数论版本的朗兰兹纲领对应的几何化版本。这一几何化版本的朗兰兹纲领将原始数论版本朗兰兹纲领中的数域替换为了代数簇上的函数域。由此，将朗兰兹纲领扩展到了代数几何这一数学分支。正如原版的朗兰兹纲领一样，几何化朗兰兹纲领联系了代数几何、表示论与量子场论，并对这些学科都产生了深远的影响。

作为朗兰兹纲领的提出者，朗兰兹本人则获得了包括1996年沃尔夫奖、2018年阿贝尔奖在内的多项数学界重要大奖。朗兰兹的贡献，正如挪威科学与文学院在阿贝尔奖的声明中说的：“朗兰兹早在1967年就提出了一项全新的数学理论，认为数学中一些表面上看起来毫无关系的领域之间可能存在深刻的联系。他提出的见解大胆而内涵丰富，在数学中的很多分支领域之间架起了‘桥梁’，数学界将这一理论命名为‘朗兰兹纲领’。‘朗兰兹纲领’在几十年间深刻影响了世界各地的数学家，启发产生了一系列新的数学研究成果。”

提出“戴森球”这一概念的数学物理学家弗里曼·戴森曾经说过：“有些数学家是鸟，其他的则是青蛙。鸟翱翔在高高的天空，俯瞰延伸至遥远地平线的广袤的数学远景。他们喜欢那些统一我们思想，并将不同领域的诸多问题整合起来的概念。青蛙生活在天空下的泥地里，只看到周围生长的花儿。他们乐于探索特定问题的细节，一次只解决一个问题。”

可以相信，在所有的这些属于鸟类的数学家当中，罗伯特·朗兰兹无疑是飞得最高、看得最远的那一批。

南方周末特约撰稿 左力

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