七道数学极限练习题
1.计算lim(n→∞)(11n²-22)/(22n⁴+4n-4)
2.计算lim(n→∞)(42n-26n-19)/(28+3n-9n²)
3.求极限lim(x→1)(x³-29x+28)/(x⁴-17x+16)
4.求lim(x→0)(2x+14sin9x)/(16x-27sin5x)
5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(17x+25)。
6.求lim(x→0)(sin19x-sin41x)/sin11x.
7.求lim(x→0)(1+4x)^(2/6x)。
七道数学极限练习题详细答案
1.计算lim(n→∞)(11n²-22)/(22n⁴+4n-4)
解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。
本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：
lim(n→∞)(11n²-22)/(22n⁴+4n-4)
=lim(n→∞)(11/n-22/n⁴)/(22+4/n³-4/n⁴),
=0。
2.计算lim(n→∞)(42n-26n-19)/(28+3n-9n²)
解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：
lim(n→∞)(42n²-26n-19)/(28+3n-9n²)
=lim(n→∞)(42-26/n-19/n²)/(28/n+3/n-9),
=(42-0)/(0-9)
=-14/3。
思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：
lim(n→∞)( 42n²-26n-19)/(28+3n-9n²)
=lim(n→∞)(84n-26)/(3-18n)，继续使用罗必塔法则，
=lim(n→∞)(84-0)/(0-18)，
=-14/3。
3.求极限lim(x→1)(x³-29x+28)/(x⁴-17x+16)
解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：
lim(x→1)(x³-29x+28)/(x⁴-17x+16)
=lim(x→1)(x-1)(x²+x-28)/[(x-1)(x³+x²+x-16)],
=lim(x→1)(x²+x-28)/(x³+x²+x-16),
=(1+1-28)/(1+1+1-16),
=2。
4.求lim(x→0)(2x+14sin9x)/(16x-27sin5x)
解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：
lim(x→0)(2x+14sin9x)/(16x-27sin5x)，
=lim(x→0)(2+14sin9x/x)/(16-27sin5x/x)，
=lim(x→0)(2+126sin9x/9x)/(16-135sin5x/5x)，
=(2+126)/(16-135)，
=-128/119。
思路二：使用罗必塔法则计算有：
lim(x→0)(2x+14sin9x)/(16x-27sin5x)，
=lim(x→0)(2+14*9cos9x)/(16-27*5cos5x)，
=(2+14*9)/(16-27*5)，
=-128/119。
5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(17x+25)。
解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：
lim(x→∞)(x²sin1/x)/(17x+25)
=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(17x+25)/x],
=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[17+(25/x)],
=1/{lim(x→∞)[17+(25/x)]},
=1/17。
6.求lim(x→0)(sin19x-sin41x)/sin11x.
解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：
lim(x→0)(sin19x-sin41x)/sin11x
=lim(x→0)2cos30xsin(-11x)/sin11x,
=lim(x→0) -2cos30x
=-2cos0=-2。
思路二：使用罗必塔法则计算有：
lim(x→0)(sin19x-sin41x)/sin11x,
=lim(x→0)(19cos19x-sin41cos41x)/(11cos11x)，
=lim(x→0)(19-41)/11，
=-2。
7.求lim(x→0)(1+4x)^(1/3x)。
解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：
lim(x→0)(1+4x)^(1/3x),
=lim(x→0){[(1+4x)^(1/4x)]}^(1*4/3),
=e^(4/3),
=e^(4/3)。
