随着年龄的增加，人们会逐渐对世界失去兴趣，失去好奇心。乔治·康托（尔）极力避免这样的现象出现在他的身上。他很少对周围的事物失去兴趣（尤其是数学）。有一天，当他陷入沉思时，他意识到任何线段上的点都能匹配三维空间中的所有点（形成一一对应关系）。意识到这一点后，他立即给他的朋友戴德金写了一封信，说：

I see it, but I don’t believe it.

康托和戴德金

康托是现代数学之父，我认为这不应该存在争议，因为他建立了现代数学的基础——集合论。

康托一生都在马丁路德·哈勒维滕贝格大学工作。今天，那所大学里还矗立着一座方形的纪念碑，以纪念他。在纪念碑的一侧，我们看到了康托雕像。右上角写着“格奥尔格·康托，数学家，集合论的创始人”；在左边，我们注意到康托著名的公式和他著名的对角线论证法。最后，我们在左下角看到康托的名言：

数学的本质在于它的自由。

康托几乎一生都在思考和探索。

他发现的新事物越多，对数学的兴趣就越浓。 有一天，当康托在他的房间里闲逛时，他的同事爱德华·海涅问了康托一个问题，这个问题彻底改变了当时已知的数学基础：

给定集合E [0,2 π]，三角级数在E外的收敛是否意味着所有系数都为0？

三角级数的形式

在深入思考这个问题时，康托有了一个惊人的发现：有理数不能与无理数一一对应。这意味着两个无穷大集合的大小可以是不同的。康托发现，“无限”其实不止一个。康托将他的每一个想法以文章的形式发表，用数学来解释它们。

这是一种全新的数学方法。如果康托所说的是正确的，那么整个数学就必须重新定义。许多数学家激烈地反对康托的观点（著名的有克罗内克和庞加莱），他们认为亚里士多德的无限概念比康托的概念更正确。备受质疑下，原本具有精神疾病的康托住进医院。为了维持生计，康托向柏林的另一所大学申请工作，但也因他的“无穷观点”得不到认可而被拒绝了。

什么是无限？

到底是什么概念让康托疯狂追寻，让他在脑子里反复琢磨？

埃利亚的芝诺是第一个提出关于无限概念的人。在思考无限的概念时，他引用了著名的阿喀琉斯和乌龟悖论。根据芝诺的说法，阿喀琉斯每次要追上乌龟，乌龟就会往前移动一点，而这个过程会无限重复下去。虽然这乍听起来很有道理，仔细思考就会觉得哪里不对劲。怎么把无穷多的数相加呢？伟大的数学家欧拉向我们展示了如何将无穷级数相加。通过计算无穷级数收敛到一个有限的数，欧拉解决了芝诺悖论。

后来，亚里士多德提出了让许多思想家至今都接受的观点：

无限就像地平线，它是我们为了便于理解而使用的不存在的东西。我们用这个概念来代替“无边界”。如果某物有可能增长到超过预定的大小，我们就说它会永远持续下去。

这就是为什么要定义无限，以摆脱某种不确定性。还有什么比数学更好的工具来定义无限呢？无限的概念只能用康托在1884年提出的可数性来定义。康托是怎么做的？

N ={0, 1, 2, 3，…}表示自然数集，这是公认的。康托首先在0、1、2、3、…的末尾加上一个“无限数”，用omega（ω）表示：

有些平台不能正确显示希腊字母，这里用图片展示。

然而，康托并没有止步于此，他继续添加数字：

继续下去，直到2ω：

用这种方式继续下去，得到了下面这些数字：

然而，过了一段时间，康托开始认为无限的概念本身没有任何意义。毕竟，无限是有限的对立面。有限的概念也没有太大的意义。后来，康托将“无限”与“集合”联系取来。在那之前，集合是由对象组成的有“有限体”，康托决定用集合来解释“无限”。

为此，康托首先必须定义集合的概念，他决定用纯数学的来处理这个问题。在他1874年发表的文章中，他这样描述集合：

所谓集合，是指我们直觉或思想的明确而独立的对象的集合。

例如：

{x: x是奇正整数}

{x: x是小于9999的质数}

康托文章中的一段话

简单地说，集合就是对象的集合。而在数学中，当我们说到“对象”时，我们想到的是数字或集合，根据康托的说法，一个对象要被定义为集合，它不需要满足特定的要求，任何想到的对象都可以构成集合。

在定义了“集合”后，康托开始头脑风暴，思考两个大小相同的“集合”意味着什么。然后他发现了一个基本思想，一一对应（双射）。用这个方法，康托可以证明两个集合是否有相同数量的对象。康托的逻辑非常直接，原始时代，人们会在墙上为他们猎杀的每一个动物画一条线。康托使用了同样的方法，将无限的概念，如实数，与其他无限集相匹配。

根据康托，如果我们可以将集合A中的对象与集合B中的对象一一对应，并且两个集合都没有不匹配的对象，那么它们的大小是相等的。一个简单的例子是让我们左手的手指和右手的手指相匹配。

一一对应与计数（数数）有很大不同。当我们讨论每个集合中的对象时，我们不是一个一个地数，而是匹配它们。我们不说这两个集合有多少的对象，我们说它们有相等数量的对象。

然而，康托不仅是对有限集使用这种一一对应的方法，而且对无限集也使用这种方法。引入这种方法后，集合被分为有限集和无限集（以及具有不同大小的无限集）。例如，自然数的无穷（N）等于有理数的无穷（Q），实数的无穷（R）大于自然数的无穷（N）。

康托是如何用数学方法进行“匹配”的？

让我们先来考虑一下自然数集。自然数有1、2、3、4、5、6……。根据康托的理论，自然数集是可数的（可数集），因此如果我们能将另一个集合与之匹配，那么这个集合也是可数的。在我看来，这种方法是世界上最重要的数学方法之一。

首先，让我们试着把自然数集合和偶数自然数集合匹配起来。

设N表示自然数集：N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7，…}

设E表示偶数自然数集：E={2, 4, 6, 8，…}

正如你在下面看到的，所有N和E的元素都可以相互匹配：n→2n。

因此，我们可以说这两个集合的对象数量相等。

使用同样的方法，我们还可以将所有自然数与整数（Z）匹配。。如果我们将1与0匹配，在此之后先匹配一个正数，然后匹配一个负数。可以看到，这两个集合是一一对应的。

到目前为止，我们只配对了两个中间没有“数”的集合。例如，1和2之间没有自然数。

这种方法在有理数和无理数集合中是否有效？因为在这些集合中数字之间有无限个元素。例如，我们可以在1和2之间放置任意数量的对象（数字）。

你可能认为我们无法将自然数和有理数匹配起来。让我们看下下面的图片。我们在第一行和第一列写了趋近于无穷多的自然数。然后，按照特定的规律，写下所有有理数。

康托对角线论证。

如你所见，我们可以将所有自然数与正有理数匹配。我们也可以用这个逻辑来匹配所有有理数和整数。因此，我们可以推测有理数是可数的。

那么实数呢？遗憾的是，实数是不可数的，而康托也为这一点提供了很好的证明。

在证明实数不可数时，康托用矛盾法证明(0-1)之间的实数不可数。首先，他假设(0-1)之间的实数是可数的。康托写下从1到n的所有自然数。然后他他把(0-1)之间的所有数字都写在自然数的右边，命名为x_1、x_2、x_n等。

根据假设，康托认为他不应该在(0-1)之间找到任何其他的数（不在右边的列表中）。因此，他要找到一个不在(0-1)之间的数字，b。

康托用一种简单的方法找到了一个数字b。

把x_1的第1位小数加1作为b的第1位小数，即b=0.3……，显然，b不等于x_1；

把x_2的第2位小数加1作为b的第2位小数，即b=0.36……，显然，b不等于x_2；

把x_3的第3位小数加1作为b的第3位小数，即b=0.367……，显然，b不等于x_3；

……

用这个方法，康托在(0-1)之间找到了一个与他之前写过的所有数字都不同的数。这证明了他的假设是错误的。因此，实数是不可数的（不可列），因为当“一一对应”完成时，还许多实数无匹配对象。

康托在一篇文章中发表了这一革命性的证明，用不那么数学的语言，他向世界展示了他的发现：

康托1891年的论文，证明了实数不可数。

康托的这一发现（用数字来表示无限），在哲学世界引起了一场地震效应。这是因为每次革命都会在现有秩序中制造混乱。托拜厄斯·丹齐格在他的书《数字：科学的语言》中写道，“康托尔对这个定理的证明是人类智慧的胜利。

《数字：科学的语言》228页。

如果你不理解康托的“无限理论”，别难受。因为，在康托时代，许多顶尖的数学家也不理解。甚至，它还引起了一些数学家的恐慌，他们说：

数学正在失去控制。

几乎所有的数学家对即将到来的现代数学都有一种防御反射，并直接否定康托的发现。

当时的天才，希尔伯特，是能理解康托的人之一。1900年，在巴黎的一次会议上，希尔伯特提出了23个问题，并把康托的连续统假设问题作为他的第一个问题。他最后说，

没人能把我们从康托为我们创造的天堂中赶出去。

下面是希尔伯特的23个问题清单：

康托关于连续体基数的问题；

算术公理的相容性；

两个等底等高四面体的体积相等问题；

两点间以直线为距离最短线问题；

连续群的解析性；

在任意数域中证明最一般的互反律；

丢番图方程的可解性；

证明某类完备函数系的有限性；

半正定形式的平方和表示；

给定单值群微分方程解的存在性证明；

某些数的无理性与超越性；

素数问题；

系数为任意代数数的二次型；

用只有两个变数的函数解一般的七次方程；

用全等多面体构造空间；

正则变分问题的解是否一定解析；

代数曲线和代数曲线面的拓扑问题；

物理学的公理化；

将克罗克定理推广到任意的代数有理域上去；

舒伯特计数演算的严格基础；

一般边值问题；

由自守函数构成的解析函数的单值化；

变分法的进一步发展出。

所有集合的集合是集合吗？

伯特兰·罗素用康托的集合概念提出了这样一个问题：

所有集合的集合是一个集合吗？

这个问题又一次分裂了数学界。对于许多数学家来说，为了解决罗素悖论，他们应该放弃集合论。

首先，根据康托对集合的定义，一个“事物”成为集合并不需要满足任何条件。一个人想到的任何“东西”都可以被认为是一个集合。康托不知道当他提出集合理论时，会引起数学界的不和谐。有一段时间，数学家认为所有的对象都是集合。直到伯特兰·罗素问了一个无法回避的问题：所有集合的集合是集合吗？

好在罗素找到了解决他提出的悖论的方法。1908年，罗素提出了“类型论（type theory）”，对所有集合进行排序。

康托还提出了许多其他问题，数学世界陷入了一场深层次的危机。数年后，这段时期被称为“数学基础的危机”。摆脱危机的唯一方法就是抛弃经典的数学方法。数学家们认为“集合论”是不言自明的，并开始在其基础上建立数学。在那之后，他们将无穷的定义数学化了。

分析和几何的发展花了几百年。而由于康托尔的天才，被称为现代数学基础的集合论，只花了几年的时间就发展起来了。