这里的证明只要把O(0,aδ)与O(y0,η)相对应，同时δ=η/ν，就可以得到

y0-(v/a)y与y0+(v/a)y属于球O(y0,η)。

再将Bxk'-Bxk，就可以得到B(a(xk'-xk)/2v)-->y。

这个引理的意思大概就是，X中的球体经过有界线性算子B的映射以后，在Y中会同样得到一个球体，这个球体无论其半径相对于原X中的球体是放大还是缩小了，都是稠密的。

完备度量空间是第二类型的集，具体来说，是指完备度量空间被证明是第二类集，而不是第一类型的集。

数学中，一个集合可以根据其性质被划分为第一类型集和第二类型集。第一类型集指的是可以被表示为可数个既开又闭的子集的并集的集合，而第二类型集则是指不能表示为这种形式的集合。完备度量空间是第二类型的集，这意味着它不能表示为可数个既开又闭的子集的并集。

第一类型的集可以被表示为可数个疏朗集的并集，第二类型的集是稠密集。