闭球套定理是对度量空间的完备性的一种刻画。在欧氏空间中，许多结论都依赖于空间的完备性，例如直线上的闭区间套定理和平面内的闭矩形套定理。在完备的距离空间中，许多与欧氏空间情形类似的结论仍然成立。‌

这个定理的意思就是，一簇同心球面，以x为球心，xv为半径，v越大，则半径越小，也就越靠近球心。

定理首先证明不同球面的半径值xv构成一个柯西数列，然后证明球心x属于所有的Sv。

接着证明这样的点只有唯一的一个。

也就是说，从球心x出发，以任意方向穿透所有球面，都可以得到一个柯西数列xi，这些柯西数列的极限都是x。

因为x是一个点，而一个点可以看作是半径为0的球面，所以这些柯西列的极限都可以看作是0。

闭球套定理在数学分析和泛函分析中有广泛的应用，例如在证明实数系的完备性理论中的一些重要定理。通过闭区间套定理，可以证明实数系中的一些重要性质，如连续函数的中值定理和一致连续性等。‌