稠密集的定义： 给定拓扑空间X及其子集A，如果对于X中任一点x，x的任一邻域同A的交集不为空，则A称为在X中稠密。‌ 直观上，如果X中的任一点x可以被A中的点很好地逼近，则称A在X中稠密。 邻域在数轴上的表示为开区间(a - δ, a + δ)，其中δ是一个正数，表示邻域的长度。 稠密集的闭包是全集X，或者说A的补集的内部是空集。这意味着在拓扑空间X中，不存在一个包含A但不包含X的闭集。 疏朗集的定义： 如果一个集合E的闭包不包含任何邻域，则称为是无处稠密的，或者称为疏朗的。具体来说，如果度量空间R的子集A不在R的任何非空开集中稠密，则称A是疏朗集。 这里的闭包是指闭包运算的结果。 疏朗集由一些孤立的点组成，看起来很零散。例如，整数集Z和自然数集N都是疏朗集。 ‌不稠密但不是疏朗集的集合‌的例子是存在的。这样的集合既不是稠密的，也不满足疏朗集的定义，即它们的闭包不包含任何邻域。这样的集合在数学中可能具有特定的性质或结构，使得它们不符合稠密或疏朗集的标准。 例如，考虑实数集R，其中的有理数集Q是一个不稠密的集合，因为R中存在无理数，这些无理数不在Q中，因此Q在R中不稠密。然而，Q并不是疏朗集，因为它的闭包（即所有有理数的集合）包含R中每一个点的邻域。这意味着，尽管Q不是稠密的，但它也不满足疏朗集的定义，因此可以认为Q是一个不稠密但不是疏朗集的例子。 这个例子说明了即使一个集合不是稠密的，它也可能不符合疏朗集的定义。