哈恩-巴拿赫定理如下：

这里按照定理的意思，画出一个大概的示意图：

由上图可以很清晰地看到g1(x)=g2(x)=h(x)的原因，因为h是g1,g2的延拓。

图2

上图所提到的Zorn引理如下：

在任何一非空的偏序集中，若任何链（即全序的子集）都有上界，则此偏序集内必然存在（至少一枚）极大元。

提到的引理如下：

图2的意思就是，因为赋范线性空间中，一定可以定义某个线性泛函，在图1的大圆圈范围内，按照Zorn引理，一定存在一个极大元。而这个极大元就是

内的某个线性泛函F，通过这个线性泛函得到的线性空间D(F)就等于X。

而每个线性泛函g都存在其相对应的定义空间D(g)；

D(g)则是原空间X的一部分 。

哈恩-巴拿赫定理是泛函分析中的一个重要定理，它允许定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间。