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此前发布了一道初中竞赛代数题：如图一，

图一

已知x³=x+1，x⁷=ax²+bx+c，求a+b+c=？

真没想到，全班一个会的也没有！同学们不是解方程、就是用特殊值代入，但最后都无功而返！评论区更是质疑不断！

误区1：解方程！

但一元三次方程x³=x+1无求根公式，求解难度太大！

误区2：特殊值法！令x=1，可得a+b+c=1。

但x=1并非x³=x+1的根！

解析：多项式相等！

①设x₀为方程x³=x+1的实根。若x₀也为方程x⁷=ax²+bx+c的解，则有

x₀⁷=x₀³x₀³x₀=(x₀+1)²x₀

=(x₀²+2x₀+1)x₀=x₀³+2x₀²+x₀

=2x₀²+2x₀+1=ax₀²+bx₀+c。

②若2x²+2x+1=ax²+bx+c恒成立(即x取任何实值时都成立)，则由多项式相等原理可知，当且仅当a=2、b=2和c=1。

③特别地，当a=2、b=2和c=1时，必有2x₀²+2x₀+1=ax₀²+bx₀+c，故a+b+c=5。

注：a+b+c=5只是其中一个解，是否存在其他解，非使用超纲知识不可！

上述解析的缺陷：解答并不完整，可能漏解！换言之，可能存在其他的a、b、c使得x₀为方程2x²+2x+1=ax²+bx+c的解，也即x=x₀满足方程(a-2)x²+(b-2)x+(c-1)=0！

因此还需考虑如下二者之一：

①是否存在其他的a、b、c(即a=2、b=2和c=1三者至少有一个不成立)，使得x=x₀为方程(a-2)x²+(b-2)x+(c-1)=0的解。

或②证明：a、b、c取任何其他值时，x=x₀都不是方程(a-2)x²+(b-2)x+(c-1)=0的解！

但这需要使用微积分知识！超纲！

事实上仅判断方程x³=x+1的解x₀所在范围，就要使用微积分知识。利用导数判别函数f(x)=x³-x-1的单调性及零值定理，可知方程x³=x+1在（√3/3，+∞）上有唯一解，也即x₀∈（√3/3，+∞）！

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