导数的定义应用举例

[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).

例题1：设函数f(x)在x=3处的导数为27，则极限lim(△x→0)[f(3+64△x)-f(3)]/(55△x)的值是多少？

解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为27，其定义为：lim(△x→0)[f(3+△x)-f(3)]/(△x)= 27。

对所求极限进行变形有：

lim(△x→0) 64*[f(3+64△x)-f(3)]/(55*64△x)

=lim(△x→0) (64/55)*[f(3+64△x)-f(3)]/(64△x),

=(64/55)lim(△x→0) [f(3+64△x)-f(3)]/(64△x),

=(64/55)*27,

=1728/55.

例题2:有一小车的运动方程为s(t)=12t²+46/t(t是时间，s是位移)，则该小车在时刻t=6时的瞬时速度为多少？

解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：

v(t)=s'(t)=(12t²+46/t)',

=2*12t-46/t²,

当t=6时，有：

v(6)=2*12*6-46/6²,

v(6)=409/18,

所以小车在时刻t=6时的瞬时速度为409/18。