理解高级数学概念,四个最重要的代数结构的初步印象

康托的天堂 2022-11-16 00:53:21

在数学中,一个代数结构由一个非空集A(称为基础集)、对A的操作的集合(通常是加法和乘法等二元操作)和一个有限的恒等式集(称为公理)组成,这些操作必须满足这些恒等式。

数,最好是不看成个别的对象,而是看作数系的元素。数系里面包含了一些对象(即数),以及施加于它们的一些运算(如加法和乘法)。这样,数系就是一个代数结构。然而,还有许多不是数系的重要的代数结构。

若S是一个几何图形,S上的一个刚性运动,就是一种移动S的方式,使得在此运动中,S的任意两点的距离不变(就是不允许挤压和拉伸)。如果在一个刚性运动以后,S的形状不变,就说这个刚性运动是S的一个对称。举例来说,设S是一个等边三角形,让S绕它的中心旋转120°,这个旋转就是一个对称;S对于经过其一个顶点与该点对边中点的直线作反射,这也是一个对称。

更形式地说,S的一个对称就是一个由S到其自身的函数f,使得S的任意两点x与y的距离与变换后的两点f(x)与f(y)的距离相同。

这个思想可以大大地推广∶如果S是任意的数学结构,S的对称就是一个由S 到其自身的保持这个结构的函数。由于有这样的广泛性,对称在数学里面就是一个渗透到各处的概念∶只要哪里有了对称出现,群的概念就会紧紧地跟上来。

为什么会这样?令f是顶点为 A,B,C的等边三角形,设它的边长为1。这时,f(A),f(B),f(C)就是此三角形中的三个点,这个三角形中任意两点的最远距离是1。不难看到,一旦选定了f(A),f(B),f(C),则三角形内任意点处f的值也就完全确定了。

例如,设X是A,C两点的中点,f(X)也就一定是f(A)和f(C)的中点。

让我们写出 A,B,C三点在变换以后的次序,由此来记这些对称。所以,举例来说,对称ACB就是保持A点不动,而令B,C交换位置的对称,只要把三角形对于过 A 和 B,C 中点的连线作反射,就可以得到这个对称。一共有3个这样的对称∶ACB,CBA,BAC,还有两个旋转BCA,CAB。最后还有一个"平凡的"对称ABC,它让所有的点都不动(这个“平凡的”对称的用处,恰好和零在整数加法的代数里的作用一样)。

使得对称的这一个集合成为群的,是任意两个对称可以互相复合,意思是一个对称以后再跟着一个对称就会产生第三个对称。例如,如果在反射 BAC 后面再来一个反射ACB,就会得到一个旋转CAB。要但是注意,进行对称的次序是有关系的∶如果是先作反射 ACB,再作 BAC,就会得到旋转 BCA。

我们把对称本身也看成“对象”。而把复合看成是对于这些对象的代数运算,有点像加法和乘法之于数一样。这个运算有下面的有用的性质∶

它是结合的,

平凡对称是恒等元,

而每一个对称都有逆。

更一般地说,任何一个带有一个二元运算的集合,若此运算有以上的性质,就叫做一个群。

至于这个运算是否可交换,这并不是群的定义的一部分,因为如我们刚才所看见的,复合两个对称时,哪一个在先,哪一个在后是有区别的。然而,如果这个二元运算是可交换的,这个群就成为阿贝尔群。数系Z,Q,R,C对于加法都是阿贝尔群,或者用我们常用的说法,它们在加法下成为阿贝尔群。如果把零从Q,R,C中除去,它们在乘法下也是阿贝尔群,但是Z并不是,因为缺少逆元∶整数的倒数,一般并不是整数。

在数学中,域是一组定义加减乘除运算的集合,其行为如同对有理数和实数的相应运算。因此,域是一种基本的代数结构,广泛应用于代数、数论和许多其他数学领域。最有名的域是有理数域,实数域和复数域。许多其他域,如有理函数域、代数函数域和代数数域是数学中常用和研究的域,特别是数论和代数几何。

两个域之间的关系用域扩展的概念表示。伽罗瓦理论,致力于理解域扩展的对称性。这个理论表明,角的三分和化圆为方不能用圆规和直尺完成。此外,它表明五次方程一般是代数不可解的。

域(Field)在交换环的基础上,增加了二元运算除法,要求元素(除零以外)可以作除法运算,即每个非零的元素都要有乘法逆元。由此可见,域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构,是数域与四则运算的推广。整数集合,不存在乘法逆元(1/3不是整数),所以整数集合不是域。

虽然好几个数域都是群,但是只把它们看成群就是忽略了其代数结构的很大一部分。特别是,群里面只有一个二元运算,标准的数系却有两个,即加法和乘法(由此还可以得到其他附加的运算,如减法和除法)。域的形式定义很长,它是一个具有两个二元运算的集合,还有几个这些运算必须满足的公理。有一个好办法来记忆这些公理。先把数系Q,R和C中的加法和乘法所满足的性质写出来。

这些性质如下:

加法和乘法都是可交换的以及结合的,二者都有恒等元(对于加法是0,对于乘法是1)。

每个元素 x 都有加法逆 -x 和乘法逆1/x(但是0 没有乘法逆)。正是由于这些逆元的存在,使得我们能够定义减法和除法∶x-g意思就是x+(-y),而x/y则是x·(1/y)。

这就覆盖了加法和乘法单独具有的全部性质。但是在定义数学结构时,有一个很一般的原理∶如果一个数学定义可以分成几个部分,则除非这些部分可以相互作用,否则这个定义是没有什么意思的。现在加法和乘法就是这两个部分,而迄今所讲到的性质并未把它们以某种方式连接起来。

但是最后还有一个性质,即分配律,做到了这一点,从而完成了对于域的性质的刻画。这就是把括号乘开来的规则∶对于域中的任意三个元x,y和z,有x(y+z)=xy+xz。

在列出了这些性质以后,可以抽象地来看待整个情况,并把这些性质看作公理,于是我们说∶域就是具有两种二元运算的集合,这些运算需适合以上全部公理。但是,当我们在域中从事研究时,通常并不是把这些性质看成公理的清单,而是看作一个许可证∶允许我们在其中做有理数域、实数域和复数域中的所有代数运算。

很清楚,公理越多,寻找满足它们的数学结构就越难,遇到域的情况比遇到群的情况更少见一些。因此,理解域的最好的办法可能莫过于集中注意于例子。除了Q,R和C以外还有一个域跳了出来,成为域的一个基本的例子,它就是整数 mod p(这里p是一个素数)所成的集合 F_p,其中的加法和乘法都是 mod p 来定义的。

使得域有意义的其实还不在于存在这些基本的例子,而在于有一个重要的过程与域有关,这个过程称为域的扩张,它使我们能够从原来的域构造出新的域来。这里的思想是∶先已有了一个域F,找一个多项式P使它的根不在F中,然后把一个新的元素“附加”到F上,规定这个新元素是P的不在F中的根。用这个根和F中的元素通过一切可能的加法和乘法做出新的式子来,这些式子就构成了一个新的域F'。称为F的扩张。

我们看一下域R的扩张过程的一个例子。多项式

在R中没有根,于是我们把i附加到R上去,得到了所有形如a+bi,(a,b∈R)的式子,这样就得到了复数域C。

我们也可以把这个过程用于F_3,P(x)=x^2+1在其中也没有根。这样,也会得到一个新的域,它和C一样,也是形如a+bi的复合所成的一个集合,但是现在的 a 和 b都是F_3的元素。因为 F_3中只有3个元,所以现在的新域只有9个元素。再一个例子是

它是

这样的数的集合,a和b是有理数。

Q(γ)是一个稍微复杂的例子,这里γ是多项式 x^3-x-1的根。 这个域的典型的元素就是形如 a+by+cγ^2的式子,而a,b和c是有理数。如果我们在Q(γ)中做算术,则见到γ^3就要把它换成γ+1(因为γ^3-γ-1=0),正如在复数域中见到i^2就要换成-1一样。为什么域的扩张很重要?以后讨论。

引进域的第二个非常值得注意的地方是,它们可以用来构成向量空间。

向量空间

表示平面上一个点的最方便的方法之一是使用笛卡儿坐标。选一个原点互相成直角的方向 X,Y。如果从原点出发,沿方向 X走过距离 a,再从这一点继续沿方向Y走过距离b,那么(a,b)这一对数就表示所达到的平面上的点。

同是这件事换一个说法是∶令x和y表示X和Y方向的单位向量,它们的笛卡儿坐标分别是(1,0)和(0,1)。这时,平面上的每一个点都是基底向量x和y的线性组合 ax+by。

下面是线性组合出现的另一个情况。一个(线性)微分方程

知道了y=sinx和y=cosx是两个可能的解,则容易验证,对于任意的数a和b,y=asinx+bcosx也是解。就是说,已经存在的解sinx 和 cosx 的任意线性组合仍然是解。结果会得出,所有的解都是这种形式,所以我们把 sinx 和 cosx 也看成这个微分方程的解"空间"的"基底向量"。

线性组合出现在整个数学的许多情况下。再给一个例子,任意的3次多项式的形式都是

它是四个基底多项式1,x,x^2,x^3的线性组合。

向量空间就是一个线性组合概念在其中有意义的数学结构。属于此向量空间的对象,除非我们在讨论一个特定的例子,或者把它想作一个具体的对象,如多项式或线性微分方程的解的时候,通常就称为向量。稍微形式化一点,一个向量空间就是一个集合V,使得对其中任意两个向量(即V的元素)w和w,以及任意两个实数a和b,都可以构成其线性组合av+bw。

注意,线性组合涉及两个不同类的对象,一类是向量v和w,另一类是数a和b。后者称为标量。构造线性组合的运算可以分成两个组成部分,即加法以及乘以标量。为了构造出 av+bw,先要用标量a和b去乘向量v和 w,分别得出向量av和bw,再把所得的向量加起来,得出完全的线性组合av+bw。

线性组合的定义必须服从一些自然的规则。下列的相加要是可交换的和结合的,就有恒等元(称为零向量)。对于每一个向量v,又必须有逆元(记作-v)。乘以标量也要服从某种结合律,即 a(bv),(ab)v 必须恒相等。我们也需要两个分配律,即对任意的标量a,b和任意的向量v,w均有(a+b)g=av+bv,以及a(v+w)=av+aw。

给定了一个向量空间V以后,所谓它的基底无非就是具有以下性质的一组向量∶v_1,V_2,…,V_n,而V的任意元素,即任意向量都可以用唯一的方式写成它们的一个线性组合

可能有两种情况使得这件事失败∶一是可能有某个向量不能写成 v_1,V_2,…,V_n的线性组合,二是可能有一个向量虽然可以写成这种线性组合,但是写法不止一种。如果V的所有向量都可以写成v_1,V_2,…,V_n的线性组合,就说v_1,V_2,…,V_n张成了整个空间 V。如果没有哪一个向量能以多于一种方式写成它们的线性组合,就说v_1,V_2,…,V_n 是独立的。一个等价的定义是∶v_1,V_2,…,V_n是独立的,如果把零向量写成

的方法只能是取

基底中元素的个数称为V的维数(简称维)。一个向量空间不会有两个大小不同的基底,这一点并非显然,但是可以证明确实不会有,所以维的概念才有意义。对于平面,前面说到的向量x和y构成了一个基底,所以平面的维数是2。

最明显的n维向量空间就是由n个实数所成的序列(x_1,x_2,…,x_n)的空间。如果要把序列(y_1,y_2,…,y_n)加到它上面去,只需构造序列(x_1+y_1,x_2+y_2,…,x_n+y_n)即可,要用标量c去乘它,只需作(cx_1,cx_2,…,cx_n)即可,这个向量空间记作

基底中的向量的个数并不一定是有限数。一个没有有限基底的向量空间称为无限维的。许多最重要的向量空间,特别是“向量”为函数的向量空间,常是无限维的。

关于标量,还有最后一个说明。在前面标量是定义为构造向量的线性组合时所用的实数。真正重要的是它们必须属于一个域,所以Q,R 和C都可以用作标量的系统,说真的,更一般的域也是可以的。如果一个向量空间V的标量来自域F,就说V是域F上的向量空间。这个推广重要而且有用。

另一个非常重要的代数结构是环。环对于数学并不如群、域或向量空间那样处于中心地位。粗略地说,环就是具有域的几乎所有的但不是所有性质的代数结构。特别是对于乘法运算,环就不如域要求得那么严格,最重要的放松之处是,不要求环中的非零元具有乘法逆,而且有时环的乘法不一定是可交换的。如果它是,这个环就叫做可换环——可换环的典型例子就是所有整数的集合Z,另一个例子是系数在某个域F中的多项式的集合。

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评论列表
  • 2022-11-21 21:30

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  • 2022-11-27 09:23

    好文章[点赞][点赞][点赞][点赞][点赞]

康托的天堂

简介:科学如此美妙,我想让你知道