在数据科学和分析中，理解高维数据集中的底层模式是至关重要的。t-SNE已成为高维数据可视化的有力工具。它通过将数据投射到一个较低维度的空间，提供了对数据结构的详细洞察。但是随着数据集的增长，标准的t-SNE算法在计算有些困难，所以发展出了Barnes-Hut t-SNE这个改进算法，它提供了一个有效的近似，允许在不增加计算时间的情况下扩展到更大的数据集。

Barnes-Hut t-SNE 是一种高效的降维算法，适用于处理大规模数据集，是 t-SNE (t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding) 的一个变体。这种算法主要被用来可视化高维数据，并帮助揭示数据中的内部结构。

t-SNE 的基础是 SNE（Stochastic Neighbor Embedding），一种概率性降维技术，通过保持高维和低维空间中的概率分布相似来进行数据映射。而t-SNE 是由 Laurens van der Maaten 和 Geoffrey Hinton 于 2008 年提出的。它是一种非线性降维技术，非常适合于将高维数据降维到二维或三维空间中，用于数据可视化。

Barnes-Hut t-SNE 采用了在天体物理学中常用的 Barnes-Hut 算法来优化计算过程。这种算法最初是为了解决 N体问题，即计算多个物体之间相互作用的问题而设计的。

传统的 t-SNE 算法的时间复杂度约为 O(N2)，而 Barnes-Hut 版本的 t-SNE 则将时间复杂度降低到 O(Nlog⁡N)，这使得算法能够更加高效地处理大规模数据集。

Barnes-Hut t-SNE改进了原来的t-SNE算法，加入了空间划分的数据结构，以降低点之间相互作用的复杂性。首先我们先简单介绍 t-SNE，因为理解 t-SNE 的基本工作原理对于理解 Barnes-Hut t-SNE 是必要的

t-SNE 的主要步骤包括：

相似度计算：在高维空间中，t-SNE 首先计算每对数据点之间的条件概率，这种概率反映了一个点选择另一个点作为其邻居的可能性。这种计算基于高斯分布，并且对于每个点会有不同的标准差（高斯分布的宽度），以保证每个点的有效邻居数大致相同。

低维映射：在低维空间（通常是 2D 或 3D）中，t-SNE 同样为数据点之间定义了一个概率分布，但这里使用的是 t 分布（自由度为1的学生 t-分布），这有助于在降维过程中避免“拥挤问题”（即多个高维点映射到相同的低维点）。

梯度下降：t-SNE 通过最小化高维和低维空间中概率分布的 Kullback-Leibler 散度来找到最佳的低维表示。这个过程通过梯度下降算法进行优化。

在处理大型数据集时，直接计算所有点对之间的相互作用非常耗时。Barnes-Hut 算法通过以下步骤优化这个过程：

构建空间索引树：在二维空间中构建四叉树，在三维空间中构建八叉树。每个节点表示一个数据点，而每个内部节点则表示它的子节点的质心（即子节点的平均位置）。

近似相互作用：在计算点之间的作用力（即梯度下降中的梯度）时，Barnes-Hut 算法不是计算每一对点之间的相互作用，而是使用树来估计远距离的影响。对于每个点，如果一个节点（或其包含的数据点的区域）距离足够远（根据预设的阈值，如节点的宽度与距离的比率），则该节点内的所有点可以被视为一个单一的质心，从而简化计算。

有效的梯度计算：通过这种近似，算法只需要计算与目标点近邻的实际点以及远处质心的影响，极大地减少了必须执行的计算量。

通过这种方法，Barnes-Hut t-SNE 将复杂度从 O(N2) 降低到 O(Nlog⁡N)，使其能够有效地处理数万到数十万级别的数据点。但是这种效率的提升是以牺牲一定的精确度为代价的，因为远距离的相互作用是通过质心近似来实现的，而不是精确计算。

Barnes-Hut t-SNE已经被集成到scikit-learn库种，所以我们直接可以拿来使用

首先我们生成一些简单的数据：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.manifold import TSNEfrom sklearn.datasets import make_blobsfrom sklearn.model_selection import train_test_splitfrom sklearn.preprocessing import StandardScalerfrom sklearn.metrics import silhouette_score# Generate synthetic dataX, y = make_blobs(n_samples=1000, centers=4, n_features=50, random_state=42)

生成4个簇，每个样本包含50个特征，总计1000个样本。

然后我们分割数据集，进行聚类

# Split data into training and testing setsX_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)# Standardize features by removing the mean and scaling to unit variancescaler = StandardScaler()X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)X_test_scaled = scaler.transform(X_test)# Hyperparameter tuning for t-SNEbest_silhouette = -1best_params = {}perplexities = [5, 30, 50, 100]  # Different perplexity values to trylearning_rates = [10, 100, 200, 500]  # Different learning rates to tryfor perplexity in perplexities:    for learning_rate in learning_rates:        # Apply Barnes-Hut t-SNE        tsne = TSNE(n_components=2, method='barnes_hut', perplexity=perplexity,                    learning_rate=learning_rate, random_state=42)        X_train_tsne = tsne.fit_transform(X_train_scaled)                # Calculate Silhouette score        score = silhouette_score(X_train_tsne, y_train)                # Check if we have a new best score        if score > best_silhouette:            best_silhouette = score            best_params = {'perplexity': perplexity, 'learning_rate': learning_rate}            best_embedding = X_train_tsne# Visualization of the best t-SNE embeddingplt.figure(figsize=(8, 6))plt.scatter(best_embedding[:, 0], best_embedding[:, 1], c=y_train, cmap='viridis', edgecolor='k', s=50)plt.title(f'Barnes-Hut t-SNE Visualization\nPerplexity: {best_params["perplexity"]}, Learning Rate: {best_params["learning_rate"]}')plt.colorbar(label='Cluster Label')plt.xlabel('t-SNE Feature 1')plt.ylabel('t-SNE Feature 2')plt.grid(True)plt.show()# Interpretations and resultsprint(f"Best Silhouette Score: {best_silhouette}")print("Best Parameters:", best_params)print("Barnes-Hut t-SNE provided a clear visualization of the clusters, indicating good separation among different groups.")

我们只要在sklearn的TSNE方法种传入参数method='barnes_hut'即可。上面代码运行结果如下：

Best Silhouette Score: 0.9504804611206055Best Parameters: {'perplexity': 100, 'learning_rate': 500}Barnes-Hut t-SNE provided a clear visualization of the clusters, indicating good separation among different groups.

可以看到：

Barnes-Hut t-SNE算法已经有效地将高维数据分离成不同的簇。轮廓分数0.95说明聚类分离良好，几乎没有重叠，这个接近1的分数表明，平均而言，数据点离它们的集群中心比离最近的不同集群的中心要近得多。

通过观察可以看到到簇内的密度各不相同。例如图中底部的某个簇（蓝色的）看起来特别紧凑，表明其点之间的相似度很高。相反，顶部的另一个簇（黄色的）看起来更为分散，意味着该组内的变异更大。

没有明显的异常值远离其各自的簇，这表明原始高维空间中的簇结构定义良好。

高轮廓分数和清晰的视觉分离，可以说明我们选择的超参数（perplexity：100，学习率：500）非常适合这个数据集。这也表明算法可能已经很好地收敛，找到了一个稳定的结构，强调了簇之间的差异。

Barnes-Hut t-SNE 是一种高效的数据降维方法，特别适合于处理大型和复杂的数据集，它通过引入四叉树或八叉树的结构来近似远距离作用，从而大幅减少了计算量，同时保持了良好的数据可视化质量。Barnes-Hut t-SNE优化了原始 t-SNE 算法的计算效率，使其能够在实际应用中更为广泛地使用。

https://avoid.overfit.cn/post/ec11566be83d4f4fb7cf31d09197d8e4