编辑：编辑部 HYZ

【新智元导读】就在刚刚，清华校友用AI证明了162个未被人类证明的数学定理，解决了AI无法解决陶哲轩对多项式Freiman-Ruzsa猜想的形式化难题！

诺贝尔物理学奖和化学奖被AI「包圆」后，人们再次确信：基础科学研究的范式，已经被AI从根本上改变。

果然，就在刚刚，AI成功证明了162个以前未被证明的数学定理，再次印证了这一点。

到目前为止，LLM仍然是静态的，无法在线学习新知识，更别提证明高数定理了。

对此，来自加州理工、斯坦福和威大的研究人员提出了LeanAgent——一个终身学习，并能证明定理的AI智能体。

论文地址：https://arxiv.org/abs/2410.06209

LeanAgent会根据数学难度优化的学习轨迹课程，来提高学习策略。并且，它还有一个动态数据库，有效管理不断扩展的数学知识。

值得一提的是，整个学习过程中，它既能自我学习新知识，同时不会遗忘已具备的能力。

实验结果发现，LeanAgent从来自23个不同Lean代码库中，成功证明162个此前未被人类证明的数学定理。

相较于基于Lean数据微调大模型，LeanAgent性能直接飙升11倍。而且，综合终身学习能力近94%。

其中，有许多是高等数学定理，比如具有挑战性的抽象代数、代数拓扑。

它还展现出了从基本概念到高级主题清晰的学习过程。

同时，LeanAgent在稳定性、反向迁移方面取得了卓越的成绩，并且学习新任务还能提高以往任务的性能。

陶哲轩的证明，AI依然无解？

交互式定理证明器（ITPs），如Lean，已成为形式化和验证数学证明的工具。

然而，使用ITPs构建形式化证明不仅复杂，且非常耗时。因为它需要极其详细的证明步骤，并需要使用大量数学代码库。

诸如o1、Claude先进的大模型，在非形式化证明中，会产生幻觉。这愈加凸显了，LLM在形式化数学证明中准确性、可靠性方面的重要性。

先前的一系列研究，探索了LLM也能够生成完整的证明步骤。

比如，LeanDojo便是基于开源大模型构建的定理证明器。研究人员通过在特定数据集上，训练微调大模型而来。

项目地址：https://leandojo.org/

然而，形式化定理证明数据非常稀缺，进而阻碍了这一方法的泛化能力。

再比如，ReProver专门针对Lean定理证明代码库mathlib4微调的大模型。尽管这个数据库包含了超10万个形式化数学定理、定义，但它们分布仅覆盖的是本科数学。

因此，ReProver在更具挑战性问题——陶哲轩对多项式Freiman-Ruzsa（PFR）猜想的形式化，表现就会很差。

https://terrytao.wordpress.com/2023/11/13/on-a-conjecture-of-marton/

并且，数学研究动态性，更是加剧了无法泛化的问题。

数学家们通常同时，或者交替在多个领域、项目中进行形式化。

比如，陶哲轩并行开启多个项目，包括PFR猜想、实数对称平均、经典牛顿不等式、渐近分析的形式化。

Patrick Massot专注于形式化Scholze凝聚态数学，以及完美空间（Perfectoid Spaces）项目。

这些例子突出了当前AI定理证明方法一个关键不足：

缺乏一个能够随时间在不同数学领域自适应、改进的AI系统，特别是在Lean数据可用性有限的前提下。

与终身学习的相关性

至关重要的是，数学家们形式化过程与终身学习密切相关，即在不忘记的情况下学习多个任务。

然而，对于AI来说，一个重大挑战便是「灾难性遗忘」问题。

它们往往会学习新知识（新分布）后，直接丢失，甚至抹去了对旧知识（旧分布）的记忆。

而核心挑战是，如何去平衡可塑性（学习和适应的能力）与稳定性（保留现有知识的能力）。

当AI学习新任务时，可能会覆盖了先前的学习信息。而若是为了增强稳定，保留既有的知识，便会损害LLM获取新技能的能力。

在数学形式化定理证明中，AI持续泛化能力的关键，便是在这两者之间实现平衡。

LeanAgent：首个终身学习证明数学定理的AI智能体

基于以上难题，LeanDojo原班人马团队提出了LeanAgent，一个用于定理证明的全新终身学习框架。

如下图1所示，LeanAgent工作流包括了：

推导定理的复杂度，以计算学习课程进行渐进训练，在学习过程中平衡稳定性和可塑性利用最佳优先树搜索，来搜索sorry定理（人类尚未证明的定理）

当然，LeanAgent可与任何LLM结合使用，并且通过「检索」来提高泛化能力。

同时，LeanAgent包含了几个关键的创新——

使用自定义动态数据库，管理不断扩展的数学知识；使用一种新颖课程学习（curriculum learning）策略，利用Lean证明结构，来学习更复杂的数学仓库。

对于AI灾难性遗忘问题，研究人员采用了简单的「渐进」训练方法。

该方法让LeanAgent能够持续适应新的数学知识，同时还能保留先前的学习信息。

这一过程涉及了，在课程中每个仓库生成的新数据集上，增量训练检索器。

从预训练检索器开始（比如基于ByT5 ReProver检索器），LeanAgent在每个新数据集上，额外训练一个epoch。

通过将渐进训练限制在一个epoch，有助于平衡稳定性和可塑性。

尤其是，渐进训练对数据库生成的每个数据集重复进行，逐步扩展LeanAgent知识库。

它的优势是，增加了可能的证明状态空间（其中状态包括定理的假设和当前证明进展），同时向前提嵌入添加了新的前提。

不过，更复杂的终身学习方法，如弹性权重合并（EWC），使用Fisher信息矩阵来约束先前任务的重要权重，会导致过度可塑性。

这种不受控制的可塑性，是因为AI无法随着定理复杂度的增加，而适应参数重要性。

它迫使AI在学习高级概念时，关键参数会发生快速变化。

因此，这些方法是无法适应数学定理不断演变复杂性，也就无法适用在定理证明中的终身学习。

如前所述，在23个不同的Lean代码库中， LeanAgent在定理证明终身学习方面取得了优越性。

它成功证明了162个sorry定理，其中许多来自高等数学。

比如，LeanAgent证明了来自PFR仓库的困难sorry定理，并证明了抽象代数和代数拓扑中与Coxeter系统和毛球定理相关的挑战性定理。

另外，研究人员还发现，LeanAgent在定理证明中，展现出渐进学习的一面。

从最初证明基本的sorry定理，到后面证明了更复杂的定理。

而且，LeanAgent在只能证明新的sorry定理方面，比静态ReProver基线高出多达11倍，同时保留了对已知定理证明的能力。

在定理证明中，作者还发现稳定性（在不失去太多可塑性前提下），对于AI持续泛化到新仓库至关重要。

反向迁移（BWT），即学习新任务改善先前学习任务的性能，也在定理证明中至关重要。

数学家需要一个既能持续泛化，又能持续改进的定理证明终身学习框架。

最后的消融实验中，相较于7个终身学习框架，LeanAgent简单的课程学习和渐进训练组件，显著提高了稳定性和BWT得分。

最终，LeanAgent拿下了94%综合终身学习的成绩，几乎接近完美。

这也揭示了，LeanAgent在持续泛化和改进的强大能力，以及卓越的sorry定理证明性能。

LeanAgent对数学知识的掌握

在终身学习过程中，LeanAgent展示了对基本代数结构和基本数学运算的深刻理解。

a）群和环论

LeanAgent证明了关于基本代数结构的定理。例如，MyGroup.mul_right_inv证明了将一个元素与其逆元素相乘等于单位元，而MyRing.add_right_cancel则展示了环加法的消去性质。

b）初等数论

LeanAgent可以处理基本的算术属性。例如，MyRing.zero_mul证明了零乘以任何数都是零，而MyRing.neg_neg则证明了负数的负数等于原数。

c）序理论

LeanAgent掌握了序理论的相关概念。例如，absorb 1证明了x与（x和y的上确界）的下确界总是等于x，而absorb2证明了x与（x和y的下确界）的上确界总是等于x。

d）初等实分析

LeanAgent 展示了对实数及其绝对值性质的初步理解。例如，C03S05.MyAbs.abs_add证明了涉及实数的三角不等式。

终身学习过程表明，LeanAgent已经从基础开始理解数学概念。而在这个过程结束后，它的数学推理能力有显著提升。

比如证明了涉及多个量词和条件的边界和绝对值的复杂命题。

理解了抽象集合论的概念，证明了子集关系是传递的。

方法

用于定理证明的有效终身学习策略，需要（a）最佳仓库顺序策略和（b）最佳学习策略。

通过课程学习，研究者解决了（a），以利用Lean证明的结构，并通过渐进式训练来解决（b），以平衡稳定性和可塑性。

LeanAgent由四个主要组件组成：课程学习、动态数据库管理、检索器的渐进式训练和sorry定理证明。

课程学习

LeanAgent采用课程学习方法，学习逐渐增加复杂度的数学代码库。

这个过程优化了LeanAgent的学习轨迹，让它能够在处理更高级的概念之前，先建立坚实的基础知识。

具体步骤如下：

自动搜索并克隆GitHub上的Lean代码库。使用LeanDojo提取每个代码库中定理、证明和依赖关系的细粒度信息。使用公式eS计算每个定理的复杂度，其中S代表证明步骤的数量。对于没有证明的sorry定理（即未完成证明的定理），赋予无限复杂度。采用指数缩放，来解决随着证明长度增加可能出现的证明路径组合爆炸问题。计算所有代码库中所有定理复杂度的第33百分位和第67百分位。将非sorry定理分为三组：简单（复杂度低于第33百分位）、中等（复杂度在第33百分位和第67百分位之间）和困难（复杂度高于第67百分位）。按照代码库中包含的简单定理数量对代码库进行排序，形成课程基础。

LeanAgent从包含最多简单定理的代码库开始学习。

动态数据库管理

在建立课程后，研究者进行以下操作：

将排序后的代码库添加到LeanAgent的自定义动态数据库中，使用LeanAgent提取的数据。将每个定理的复杂度包含在动态数据库中，以便未来课程中高效重用代码库。对课程中的每个代码库，LeanAgent使用动态数据库生成数据集，遵循与制作LeanDojo基准测试4相同的程序。

生成的数据集包括：

一系列定理及其证明每个证明步骤的详细注释，说明该步骤如何改变证明的状态定理状态信息，包括假设和证明进展展示如何按顺序使用特定的策略（函数）和前提来证明定理前提语料库，作为事实和定义的参考库检索模型的渐进式训练

LeanAgent在新生成的数据集上，对其检索模型进行渐进式训练。

这种策略使LeanAgent能够持续适应新数据集中前提的新数学知识，同时保留先前学习的信息，这对定理证明的终身学习至关重要。

渐进式训练通过逐步整合每个代码库的新知识来实现这一目标。训练过程如下：

起点选择：虽然LeanAgent可以与任何LLM配合使用，但研究者选择从ReProver的检索模型开始。这是ByT5编码器的微调版本，利用其从mathlib4获得的一般预训练知识。新数据集训练：在新数据集上额外训练LeanAgent一个epoch（训练周期）。这种有限的训练有助于防止对新数据过拟合，同时允许LeanAgent学习重要的新信息。嵌入预计算：在验证之前，预先计算语料库中所有前提的嵌入，以确保这些嵌入与LeanAgent的当前状态一致。模型评估：- 计算可塑性：保存在前十个检索到的前提（R@10）的验证召回率最高的模型迭代。这是一个原始可塑性值，用于评估LeanAgent适应新数学类型的能力。- 计算稳定性：计算模型在所有先前渐进式训练过的数据集上的平均测试R@10，作为原始稳定性值。重复过程：对从数据库生成的每个数据集重复上述步骤，体现训练的渐进性质。

渐进式训练的效果：

将新的前提添加到前提嵌入中增加可能的证明状态空间使LeanAgent能够探索更多样化的证明路径发现无法用原始知识库产生的新证明sorry定理的证明

对于每个sorry定理，LeanAgent AI智能体会通过最佳优先树搜索生成证明。具体步骤如下：

1. 前提检索：

使用之前收集的整个前提语料库的嵌入基于当前证明状态（表示为上下文嵌入）与前提的相似性，从前提语料库中检索相关前提使用语料库依赖图进行过滤，确保只考虑当前文件可访问的前提

2. 策略生成：

将检索到的前提添加到当前状态使用束搜索生成策略候选

3. 状态评估：

将每个策略候选通过Lean运行，获得潜在的下一个状态每个成功的策略应用都会向证明搜索树添加一条新边

4. 策略选择：

选择具有最大累积对数概率的策略，即导致该状态的策略序列的累积对数概率

5. 回溯处理：

如果搜索遇到无效路径，进行回溯并探索替代路径

6. 迭代过程：

重复上述步骤，直到满足以下条件之一：a) 找到证明 b) 穷尽所有可能性 c) 达到10分钟的时间限制

7. 结果处理：

如果LeanAgent找到证明，将其添加到动态数据库中新证明中添加的前提将包含在涉及当前代码库的未来前提语料库中LeanAgent可以在未来的渐进式训练中从新证明中学习，进一步改进其性能

如前所述，研究者对从数据库生成的每个数据集重复这个过程，因此这种训练具有渐进性质。

渐进式训练将新的前提添加到前提嵌入中，并增加了可能的证明状态空间。

这使LeanAgent能够探索更多样化的路径来证明定理，发现它无法用原始知识库产生的新证明。

实验

sorry定理的证明

研究者比较LeanAgent AI智能体在持续学习过程中和之后能够证明的sorry定理，并与ReProver基准进行对比。

选择ReProver作为基准，是因为在实验中使用了它的检索器作为LeanAgent的初始检索器。

然而，由于定理证明难度的非线性特性，研究者避免在LeanAgent和ReProver之间进行简单的百分比比较。

值得注意的是，LeanAgent在多个代码库中显著优于基准的性能，让它能够证明越来越难的定理。

此外，sorry定理缺乏已知的证明，因此证明一个sorry定理，对数学研究具有重要价值。

基于以上考虑，研究者提出了一个定理证明性能得分（Theorem Proving Performance Score，TPPS），特别强调新证明的sorry定理。

TPPS的计算方法如下：

LeanAgent TPPS = (# ReProver Theorems Proved) + (# New Theorems Proved * X) + 1ReProver TPPS = (# ReProver Theorems Proved) + 1improvement Factor = (LeanAgent TPPS) / (ReProver TPPS)

其中，X代表证明新定理的重要性权重。考虑到基础算术和抽象代数之间的巨大难度差距，研究者选择了X = 10。

此外，LeanAgent AI智能体的一个使用场景，是在学习完一个课程后在新的代码库中进行形式化（即将数学概念和证明转化为计算机可验证的形式）。

研究者通过在MiniF2F上逐步训练来展示这一点。需要注意的是，我们选择了MiniF2F代码库的Lean4版本，并忽略了其验证集和测试集的划分（原因详见附录A.5）。

数学家可以使用LeanAgent进行以下两步操作：

1. 学习初始课程A

2. 学习子课程B

然后，LeanAgent可以帮助数学家并行地形式化课程A+B中的代码库。

为了演示这种情况，研究者在8个代码库组成的子课程B上继续训练LeanAgent。结果见表2，案例研究见图2。

LeanAgent在多个代码库中，展示了持续的泛化能力和定理证明能力的提升。

在终身学习结束时，LeanAgent相比ReProver的改进因子如下：

- PFR：11倍

- Mathematics in Lean Source：5.67倍

- MiniF2F：2.63倍

- SciLean：2.2倍

- Hairy Ball定理：11倍

- Coxeter：11倍

- Formal Book：4.33倍

在大多数情况下，LeanAgent的证明是ReProver所证明的sorry定理的超集。LeanAgent的学习进展从基本概念（如算术、简单代数）逐步深入到高级主题（如抽象代数、拓扑学）。

1. PFR：

LeanAgent AI智能体能够证明这个前沿代码库中的一个sorry定理，而ReProver做不到。它还能泛化到不同的代码提交，仅使用rfl策略就能证明ReProver无法证明的定理。有趣的是，LeanAgent对PFR代码库中的逻辑操作理解得足够深入，能够用「0 = 1」这样的占位符定理语句，证明5个sorry定理。

2. SciLean：

在终身学习过程中，LeanAgent证明了与基本代数结构、线性和仿射映射以及测度论基础相关的定理。到终身学习结束时，它掌握了高级函数空间、复杂双射和抽象代数结构的概念。

3. Mathematics in Lean Source：

在终身学习过程中，LeanAgent证明了关于基本代数结构和基本算术性质的定理。到终身学习结束时，它能够证明涉及量词操作、集合论和关系的复杂定理。

4. MiniF2F：

ReProver展示了在基础算术、初等代数和简单微积分方面的熟练程度。然而，到终身学习结束时，LeanAgent掌握了高级数论、复杂代数、复杂微积分和分析、抽象代数以及复杂归纳法。

5. 子课程：

Formal Book代码库：LeanAgent从证明基本实分析和数论定理进步到掌握高级抽象代数，其证明Wedderburn小定理就是一个例证。Coxeter代码库：LeanAgent证明了一个关于Coxeter系统的复杂引理，展示了它在群论方面的熟练程度。Hairy Ball定理代码库：LeanAgent证明了该定理的一个关键步骤，展示了对代数拓扑的理解。

LeanAgent能够证明这些令人印象深刻的定理，表明它比ReProver具有更高级的定理证明能力。

终身学习分析

因为文献中不存在其他用于定理证明的终身学习框架，因此研究者进行了一项消融研究，使用七个终身学习指标，来展示LeanAgent AI智能体在处理稳定性-可塑性权衡方面的优越性。

这些结果有助于解释LeanAgent AI智能体在sorry定理证明性能方面的优势。

研究者为原始的14个代码库课程计算了这些指标。

具体来说，消融研究包括七个额外的设置，这些设置由学习和数据集选项组合而成。学习设置的选项是有或没有EWC的渐进式训练。

数据集设置涉及数据集顺序和构建。数据集顺序的选项包括单一代码库或合并所有，其中每个数据集由所有先前的代码库和新的代码库组成。

考虑到GitHub上按星级计数最受欢迎的代码库，数据集构建的选项包括受欢迎度顺序或课程顺序。

研究者使用了以下七个终身学习指标：

1. 窗口遗忘5（WF5）

2. 遗忘度量（FM）

3. 灾难性遗忘恢复力（CFR）

4. 扩展反向迁移（EBWT）

5. 窗口可塑性5（WP5）

6. 增量可塑性（IP）

7. 综合得分（CS）

他们引入了三个新指标，来解决定理证明中终身学习的特定方面：

灾难性遗忘恢复力（CFR）：这个指标捕捉了LeanAgent AI智能体在其最弱任务上，相对于其最佳表现保持性能的能力，这在存在多样化数学领域的情况下至关重要。增量可塑性（IP）：IP提供了比总体措施更细粒度的可塑性视图，并对任务顺序敏感，这在定理证明的终身学习中特别相关。综合得分：目前应该还没有广泛建立的综合指标能够提供一个单一的稳定性-可塑性权衡得分，包含表3中的前六个指标。

因此，研究者提出了一个综合得分：Composite Score = 0.2 · (1 − WF5_norm) + 0.2 · (1 − FM_norm) + 0.1 · WP5_norm + 0.1 · IP_norm + 0.2 · EBWT_norm + 0.2 · CFR_ norm

此外，这些指标在合并所有策略中衡量的是累积知识改进而不是孤立的任务表现。

1. 单一代码库分析

表4呈现了，单一代码库的结果。

LeanAgent智能体在多项指标上，展现出卓越的稳定性。其WF5指标比下一个最佳设置低75.34%，表明它能更有效地在一个时间窗口内保持性能。

LeanAgent FM得分比设置3还要低59.97%，展示了其对灾难性遗忘的强大抵抗力。

此外，LeanAgent智能体、设置1和设置2中，都表现出高度一致的不会出现灾难性遗忘，CFR值均超过0.87，差异极小（仅±0.01）。

这恰恰凸显了，LeanAgent智能体随时间持续泛化的能力。

另外，它EBWT高出16.25%，进而表明其具备了随时间持续改进的能力。

相比之下，设置3表现出更高可塑性。

它的WP5比LeanAgent AI 智能体高出38.26%，表明其在一个时间窗口内，快速适应新任务的能力更强。

设置3 IP 比LeanAgent智能体高出3.98%相辅相成，暗示了随着时间推移，其在新任务上改进更为显著。

然而，这些可塑性的提升是以极大代价换来的：设置3产生了更严重的灾难性遗忘，可从其与LeanAgent智能体相比明显较差的稳定性指标可以看出。

设置3中过度的可塑性，源于EWC无法随定理复杂性增加而调整参数重要性。

EWC保留了对简单定理重要的参数，但这些参数可能对更复杂的定理，并不关键。

因此，这些保留的参数抗拒变化，而其他参数为复杂定理快速变化。这迫使模型整体变得更具可塑性，在处理新的复杂定理时严重依赖非保留参数。

LeanAgent AI 智能体在综合得分上表现出卓越性能，能够在适应新任务的同时，保持已有知识，使其成为单一代码库设置中最适合终身学习智能体。

2. 合并所有分析

接下来，研究人员分析了表4中的合并所有设置。

设置5的WF5指标比下一个最佳设置（设置7）低61.68%，表明设置5在不断扩大的数据集中最有效地实现可塑性和稳定性平衡。

此外，设置5的CFR得分比设置7高3.77%，再次展示了面对不断扩大、可能更复杂的数据集时的高度且一致的抵抗力。

然而，设置7的FM得分比设置5低6.44%，展示了其在早期数据点上能够保持已有知识的能力。

此外，设置5是唯一一个EBWT为正的设置，表明学习新任务可以提高整个历史数据集的性能。其他设置的EBWT为负，表明在学习新任务后，早期任务的性能有所下降。

只有设置5和7的WP5不为0，表明它们有能力适应合并数据集不断增加的复杂性。

设置4和6为0数值表明，在处理合并数据时，按受欢迎程度排序难以显示改进。然而，尽管设置5的IP得分最高，比设置7高27.75%，但所有4个设置的IP值都为负。

这表明验证R@10随时间推移而下降，说明合并所有策略难以保持性能。

设置5的高综合得分表明，它在平衡保留早期知识与适应合并数据集中的新数据方面表现最佳。然而，其负IP值表明其方法存在根本性问题。

3. 比较分析和洞见

尽管这些指标在单一代码库和合并所有设置中有不同的解释，但研究者表示，仍然可以通过关注整体趋势和相对表现，来进行一些有意义的比较。

研究者注意到，合并所有设置中的负IP值表明存在重大问题。

这个缺点超过了其他指标所显示的潜在优势，因为它揭示了在持续增长的数据集中无法保持和改善性能的根本问题。

相比之下，LeanAgent展示了正IP值，表明其能够有效吸收新知识。

这一特点，再加上其相对于其他单一代码库方法更优越的稳定性和EBWT指标，表明LeanAgent比设置5更适合实现持续的泛化能力和性能改进。

4. 与sorry定理证明性能的一致性

这种终身学习分析与LeanAgent在sorry定理证明方面的性能表现是一致的。

LeanAgent优越的稳定性指标（WF5、FM和CFR），解释了它在不同数学领域保持性能的能力，这一点从它成功证明来自SciLean、Mathematics in Lean Source和PFR等不同代码库的定理中就可以被证实。

其高EBWT分数与它在定理证明中从基本概念到高级主题的进展相一致。

虽然LeanAgent相比某些设置显示出略低的可塑性（WP5和IP），但这种权衡实际上导致了更好的整体性能。这一点体现在它能够证明比其他方法更广泛的sorry定理集合。

由持续泛化能力、持续改进和可塑性组成的综合得分，进一步证实了LeanAgent在定理证明的终身学习方面具有全面的优势。

作者介绍

Peiyang Song

Peiyang Song是加州理工学院（Caltech）计算机科学的本科生，由Steven Low教授的指导。同时也是斯坦福人工智能实验室（SAIL）的研究员，在计算与认知实验室（CoCoLab）由Noah Goodman教授指导。

他的研究方向是机器推理，特别是用于数学和代码生成的AI。此前，从事过高能效机器学习系统和机器翻译的研究。

Chaowei Xiao

Chaowei Xiao是威斯康星大学麦迪逊分校的助理教授，同时也是英伟达的研究员。

他的研究方向是探索LLM系统的安全性和安全保障，以及LLM在不同应用领域中的作用。

此前，他在密歇根大学安娜堡分校获得博士学位，并在清华大学获得学士学位。