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此前发布了一道小升初数学题：求直角三角形的面积，三边均未知或不可求！所谓边长不可求，是指仅小学知识无法表示出边长，实际为带根号的无理数。朋友家的六年级娃不会做、五年级娃反倒做出来了！

小升初附加题：如图一，

图一

长方形由3个面积为2的小正方形构成，连接长方形对角线AB及右侧小正方形对角线BD，C为BD延长线上一点、使得CA垂直AB，求阴影部分直角三角形ABC的面积。

不少友友提出，此题可用12345模型求解。但12345模型本质是高中知识正切函数及其和差公式，甚或难倒不少高中生！

一、超纲解析之一：适合高中生！

利用正切函数，特别地包括所谓的12345模型，还需用到勾股定理！

①记∠ABE为α，∠ABC为β，如图二

图二

则tanα=1/3。从而tanβ=tan(45°-α)=(tan45°-tanα)/(1+tan45°tanα)=1/2。也即AB=2AC。

②记小正方形边长为a，则由勾股定理可得AB²=10a²。因此S△ABC=AB²/4=5a²/2=5。

二、不超纲解析之一：适合五、六年级孩子！拼图法+面积差！

①再用9个小正方形拼成4行3列的大长方形BEGN，如图三

图三

②由∠BAC=90°可知，延长BC必过点M，延长AC必过点H，AC=CH，连接BH。

③由对角线平分长方形面积可得，S△ABE=1/2长方形AEBF=1.5S小正方形=3，S△AGH=1/2长方形AGHP=1.5S小正方形=3，S△BHN=1/2S长方形BNHQ=4S小正方形=8。

④S△ABH=S长方形BEGN-S△ABE-S△AGH-S△BHN=5S小正方形=10。

⑤S△ABC=1/2S△ABH=5。

三、超纲解析之二：适合初中生！拼图+勾股定理！

①同于不超纲解析之一，可得图三。

②记小正方形边长为a，由勾股定理可得BH²=20a²，从而S△ABC=1/2S等腰直角△ABH=BH²/8=2.5a²=5。

或

②'由勾股定理可得AB²=10a²。注意到AC=1/2AH且AH=AB，因此S△ABC=AB×AB/4=5a²/2=5。

四、不超纲解析之二：适合五、六年级孩子！拼图法+面积和+等积原理！

①同于不超纲解析之一，再用9个小正方形拼成4行3列的大长方形BEGN，过点C作BE的平行线JK，如图四

图四

②点C恰为左侧下起第3行小正方形的中心。

③由同底等高面积相等可知，S△ABD=S△ADE=S小正方形=2。

④S△ACD=1/2S长方形ADKJ=1.5S小正方形=3。因此S△ABC=2+3=5。

注：不超纲解析二的求解思路来自一个五年级孩子！

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