求曲线e^(4x+28y)-30cosxy=37e^x+1在x=0处的法线和切线方程

主要内容：

本文通过导数的几何意义，以及直线的点斜式方程等相关知识，介绍计算曲线e^(4x+28y)-30cosxy=37e^x+1在x=0处的法线和切线方程的主要过程。

主要过程：

※.切点求解

根据题意，当x=0，则有：

e^(0+28y)-30cos0=37*e^0+1,即：

e^28y-30=37+1，即e^28y=68，则y=(1/28)*ln68，

所以切线A的坐标为：A(0, (1/28)*ln68)。

※.切线方程求解

对曲线方程e^(4x+28y)-30cosxy=37e^x+1，两边同时对x求导，有：

e^(4x+28y)*(4+28y')+30sinxy*(y+xy')=37e^x,

4*e^(4x+28y)+28y'*e^(4x+28y)+30sinxy*(y+xy')=37e^x,

4*e^(4x+28y)+28y'*e^(4x+28y)+30ysinxy+30xsinxy*y'=37e^x,

y'[28e^(4x+28y)+30xsinxy]=37e^x-30ysinxy-4*e^(4x+28y),

所以: y'=[37e^x-30ysinxy-4*e^(4x+28y)]/[28e^(4x+28y)+30xsinxy],

当x=0时，则有：y'=(37-4e^28y)/28e^28y，进一步有：

y'=(37-4*68)/(28*68)=-235/1904。

所以切线方程为：y-(1/28)ln68=-235x/1904，即：

y=-235x/1904+(1/28)ln68。

※.法线方程求解

根据切线的斜率k1与法线方程的斜率k2的乘积为-1，

可计算出法线方程的斜率k2=1904/235,

进一步由直线点斜式即可求出法线方程为：

y-(1/28)ln68=1904x/235，即：

y=1904x/235+(1/28)ln68。