不定积分∫dx/(x^4+7)的计算步骤

主要内容：

本题通过凑分、换元、裂项、反正切函数导数、幂函数导数等方法和知识，介绍不定积分∫dx/(x^4+7)的主要计算步骤。

※.主要步骤

∫dx/(x^4+7)

=∫dx/[7 (x^4/7+1)

=(1/7)∫dx/[(√x/√7)^4+1]

设√x/√7=t，则x=√7t，代入得：

=(1/7)∫d(√7t )/(t^4+1),

=(1/√7)∫dt/(t^4+1)

=(1/2√7)∫[(t^2+1)-(t^2-1)]dt/(t^4+1)，此步骤为对分子进行等量变换，

=(1/2√7)∫(t^2+1)dt/(t^4+1)- (1/2√7)∫(t^2-1)dt/(t^4+1)，此步骤为裂项，

=(1/2√7)∫(t^2+1)dt/(t^4+1)- (1/2√7)∫(t^2-1)dt/(t^4+1)，两项分子分母同时除以t^2得，

=(1/2√7)∫[1+(1/t^2)]dt/[t^2+(1/t^2)]- (1/2√7)∫[1-(1/t^2)]dt/[t^2+(1/t^2)]，

=(1/2√7)∫d(t-1/t)/[t^2+(1/t^2)]- (1/2√7)∫d(t+1/t)/[t^2+(1/t^2)]，

此步骤为分子凑分法，

=(1/2√7)∫d(t-1/t)/[(t-1/t)^2+2]-(1/2√7)∫d(t+1/t)/[(t+1/t)^2-2],此步骤为根据分子对分母进行配方计算，

=(1/2√7)∫d(t-1/t)/2[(t-1/t)^2/2+1]-(1/2√7)∫d(t+1/t)/{[(t+1/t)-√2][ (t+1/t)+√2]},

此步骤前者对分母提取公因式2，后者使用平方差公式，即：

=(1/2√7)arctan[(t-1/t)/√2]- (1/4√14){∫d(t+1/t)/[(t+1/t)-√2]-∫d(t+1/t)/[(t+1/t)+√2]},

=(1/2√7)arctan[(t-1/t)/√2]- (1/4√14)ln|[(t+1/t)-√2]/ [(t+1/t)+√2]|+C.

由t=√x/√7知1/t=√7/√x，则：

t-1/t=(x^2-7)/√7x,t+1/t=(x^2+7)/√7x代入上式，有，

=(1/2√7)arctan[(x^2-7)/√2x]-(1/4√14)ln|[(x^2+7)/√7x-√2]/ [(x^2+7)/√7x+√2]|+C,

对后者进行等量变形，则：

所求式

=(1/2√7)arctan[(x^2-7)/√14x]-(1/4√14)ln|[(x^2+7)-√14x]/ [(x^2+7)+√14x]|+C.