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此前发布了一道五年级数学竞赛题：求直角三角形与正方形重叠图形面积！题目难度非常大，会做的同学只有区区数人！严格来讲，这还是一道错题！

如图一，

图一

面积为8的正方形的中心与三角形OAB的直角顶点重合，求重叠部分面积。

一、适合初中的解析之一：

①过点O分别作垂线OC和OD，得一小正方形OCGD，如图二

图二

②易证△OCE≌△ODF，从而S△OCE=S△ODF。

③因此，S阴影=S正方形OCGD=8÷4=2。

二、适合初中的解析之二：

①分别连接点O与正方形的两定点C、D，如图三

图三

②易证△OCE≌△ODF，从而S△OCE=S△ODF。

③因此，S阴影=S等腰直角△OCD=8÷4=2。

三、原题条件与解析结果分析

从上述两种解析的结果来看，阴影面积恰为正方形面积的1/4。这是为何？

其根本原因在于：示意图显示，△OAB的斜边AB未与正方形相交。

此情形下，其结论本质上等价于：过正方形中心的相互垂直的两直线四等分正方形面积！

但“△OAB的斜边AB未与正方形相交”只是示意图“显示”的状态，原题并未给出条件，用于确保这种状态为常态、而非特殊状态。

四、原题存在的问题

示意图一所显示的“△OAB的斜边AB与正方形不相交”为单一状态，随着△OAB位置的变化，即△OAB绕点O旋转，斜边AB有可能与正方形相交。

特殊状态一：△OAB的直角边与正方形对角线重合，如图四

图四

此时，只要满足条件1：OA、OB均大于OC=2，可

确保AB与正方形不相交、或AB与正方形的边重合。从而重叠区域面积为正方形面积的1/4。

特殊状态二：△OAB的直角边垂直于正方形的边，如图五

图五

此时，只要满足条件2：△OAB的直顶角的角平分线大于2，可确保AB与正方形不相交、或相交于正方形顶点即至多一个交点。从而重叠区域面积为正方形面积的1/4。

但条件1和2仍不足以确保△OAB绕点O旋转过程中，斜边AB与正方形相交于正方形顶点、或与正方形不相交、或与正方形的边重合！

五、修正

由于还没学三角形全等，解析一和解析二的方法均不适用五年级，也即无法仅从示意图来推知：任何情形下，重叠区域面积均为正方形的1/4，而需附加一定的条件！

因此，对小学五年级学生来说，原题错误！

修正方法：作直角三角形OAB斜边AB上的高OC，如图二。

图六

当OC≥2时，△OAB绕点O旋转过程中，三角形OAB与正方形重叠图形的面积恒为正方形面积的1/4。

六、原题修正后的解析：适合五年级

由第五部分可知，若附加条件3：△OAB斜边上的高≥2，△OAB绕点O旋转过程中，斜边AB要么与正方形不相交，要么与正方形边重合，要么与正方形相交于某个顶点。

如此，五年级学生可选取第四部分中的特殊情形一或二、进行求解，即重叠区域面积为2。

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