假设： X是一个赋范线性空间。A和A1是X的子集。x∈A。x0∈A1。A1是由x0与A张成的线性子空间。这意味着A1中的任何元素都可以通过线性组合的方式由向量x0和A中的向量生成。具体来说，如果x0是A1中的一个向量，而A中的向量集合为{x1, x2, ..., xr}，那么A1可以看作是由这些向量和x0线性组合而成的空间。这种线性组合可以是加法和数乘的形式，即A1中的任何元素都可以表示为x0与A中向量的线性组合。因此，A1中的元素确实可以由x0与A张成，这是因为线性子空间的定义允许通过这种方式的线性组合来生成新的向量,可以表示为x+tx0。这种线性组合的性质是线性代数的基石之一，也是赋范线性空间中向量空间概念的核心。 可以验证，表达式x+tx0满足线性空间的定义，即满足加法和数乘运算封闭的要求。 综上所述，A1满足线性子空间的所有条件，因此它是X的线性子空间。