对于任何非零元素x0，如果线性泛函f在x0上的取值等于x0的范数，即f(x0)=∣∣x0∣∣，可以断定泛函f的范数等于1。‌ 这个结论可以通过构造一个特定的线性泛函来证明。 具体来说，假设X是一个赋范空间，x0是X中的一个非零元素。 我们可以构造一个线性泛函f，使得对于任意λx0（其中λ是标量），有f(λx0)=∣λ∣⋅∣∣x0∣∣。 这样的泛函可以通过定义f(x0)=∣∣x0∣∣来实现， 因为f是线性的，所以对于任何标量λ，有f(λx0)=λf(x0)=λ∣∣x0∣∣。 参考矩阵范数： ║A║ = max{║Ax║：║x║=1}= max{║Ax║/║x║： x≠0} 由于线性泛函的范数定义为∣∣f∣∣=sup{⁡∣f(x)∣/⁡∥x∥}，而此处f(x)=x，所以∣∣f∣∣=1。 因此，我们可以得出结论，对于任何非零元素x0​，如果线性泛函f在x0上的取值等于x0的范数，那么这个泛函的范数必然等于1。