‌‌矩阵特征值的意义在于它们描述了线性变换在特定方向上的效果，提供了矩阵或算子的许多性质，包括‌稳定性、变换的缩放因子以及矩阵的“本质维度”。‌ 特征值是线性代数中的一个核心概念，对于理解矩阵的行为和性质至关重要。‌

特征值是满足方程Av=λv的标量λ，其中v是非零向量。这意味着存在一个方向，当矩阵A作用于这个方向上的向量时，该矩阵仅使得向量v在长度或大小上变化，而方向保持不变。这种表示向量大小变化程度的特殊标量值λ就是矩阵A的特征值，而对应的非零向量v称为特征向量。

‌方向保持性‌：特征值描述了线性变换在特定方向上的效果，这些变换可以是伸长、收缩或旋转。特征值和特征向量的组合提供了关于矩阵如何改变向量方向和大小的重要信息。‌稳定性、变换的缩放因子‌：特征值揭示了矩阵的稳定性，即矩阵在变换过程中保持某些特征的能力。此外，特征值还可以看作是矩阵对向量进行变换时的缩放因子，即矩阵在特定方向上的放大或缩小比例。‌矩阵的本质维度‌：特征值还揭示了矩阵的“本质维度”，即矩阵在变换过程中保持不变的独立方向的数量。这对于理解矩阵的内在结构和行为至关重要。

计算特征值通常涉及解决特征方程|A-λE|=0，其中A是给定矩阵，E是单位矩阵，λ是我们要找的特特征值。解决这个方程可以得到矩阵的特征值。一旦得到特征值，就可以通过(A-λE)X=0找到对应的特征向量。

特征值在许多科学和工程领域都有广泛的应用。