该定理表明C[a,b]中每个连续线性泛函可以表示为有界变差函数的积分。

V0[a,b]是指：

若在区间(a，b)中，函数f(x)能够表成Φ(x)一Ψ(x)的形状，而Φ与Ψ都是非减有界函数，则称f(x)在(a，b)中是有界变差的．易见两有界变差函数的和、差与积也都是有界变差的．

图1

特征函数：

对于x∈B[a,b]（有界函数全体集合），泛函的范数∣∣x∣∣等于sup∣x(t)∣。‌

在数学中，特别是函数空间的分析中，对于定义在闭区间[a,b]上的有界函数集合B[a,b]，其泛函的范数通常定义为函数绝对值的上确界，即函数在该区间上的最大值。这反映了函数的“大小”或“幅度”，通过取函数值的上界来衡量函数的整体表现。

具体到本问题，对于任意x∈B[a,b]，其泛函的范数∣∣x∣∣定义为：

∣∣x∣∣=sup⁡t∈[a,b]∣x(t)∣

这里的sup表示上确界，即所有可能的函数值中的最大值，这表明函数的任何值都不超过其范数。这种定义方式确保了对于任何有界函数集合中的函数，其范数提供了一个衡量其“大小”的标准，且这个标准是通过函数的最大绝对值来确定的‌。

图2

V[a,b]表示有界变差函数的集合。

上图提到的定理是：

h(a)=0是因为按照图2，h(ξ)=F(Xξ)，而图1中已经规定Xa=0，所以h(a)=F(0)。

又F是f的延拓，故在C[a,b]上f(0)=F(0)。因为f是线性泛函，所以f(0)=0=h(a)。

上图通过g(x)=h(x)-h(a)进行了g和h之间的转换，而dg=g(tk)-g(tk-1)。