关于有界线性算子延拓的一个定理：

B是Banach空间，A是B的一个稠密线性子空间‌，则对于B中的任意元素x和任意以x为中心的邻域U，都存在A中的元素y∈U，则称A在B中是稠密的。

由定义，因为G是X的稠密线性子空间，所以对于X中的任意一个元素x，

都存在G中的一个点列xn，这个点列的极限就是x。

以上证明的这个思路大概是：

因为算子A的作用范围是G，要证明的就是把算子A拓展为算子B，而算子B的作用范围是空间X。

先取属于G的点列xn，xn同时也属于X。

再定义X中的算子B，证明算子B是算子A的延拓。

因为xn同时也属于X，然后证明算子B所作用的xn具有任意性，就证明了算子A被成功拓展为算子B，区间也由G拓展到了区间X。

之所以要求Y是Banach空间，就是为了保证xn的极限值也在Y里面。