‌赋范线性空间和Banach空间是数学中的两个重要概念，它们之间存在明显的区别。‌

赋范线性空间是在线性空间中引进一种与代数运算相联系的度量，即由向量范数诱导出的度量。如果由范数导出的度量是完备的，这种空间称为Banach空间。

如果对于任何两个向量x和y，以及任何标量α和β，满足以下条件，则称二元体为赋范线性空间：

由范数导出的度量为ρ(x,y)=∥x−y∥。

此时，如果点列{xn}收敛于x，即lim⁡n→∞∥xn−x∥=0 ，有时称这种收敛为依范数收敛。

Banach空间则是赋范线性空间的特殊类型，当赋范线性空间的度量是完备的，即任何Cauchy序列在该空间中收敛到一个元素时，该赋范线性空间被称为Banach空间。Banach空间在数学分析、泛函分析等领域中有着广泛的应用。

简而言之，赋范线性空间是通过引入向量范数在线性空间上定义的一种度量空间，而Banach空间则是这种度量空间在完备性条件下的特例。这意味着，如果一个赋范线性空间的度量具有完备性，即所有Cauchy序列在该空间中都有极限点，那么这个赋范线性空间就成为Banach空间‌。