首先，明确我们使用的范数是算子范数，通常定义为：

其中 A 是线性算子，x是其定义域中的向量，∣∣x∣∣ 和 ∣∣Ax∣∣ 分别是向量 x 和 Ax的某种范数（如欧几里得范数）。

接下来，我们考虑共轭算子 A*。对于任意向量 y，我们有：

∣∣A*y∣∣=sup⁡∣∣x∣∣=1∣(A*y,x)∣∣

这里 (A∗y,x)表示 A∗y和 x的内积。由于 A* 是 A 的共轭算子，根据共轭算子的定义，我们有：

(A*y,x)=(y,Ax)

因此，

∣∣A*y∣∣=sup⁡∣∣x∣∣=1∣(y,Ax)∣∣

接下来，利用柯西-施瓦茨不等式，有：

∣(u,v)∣≤∣∣u∣∣⋅∣∣v∣∣

将 u=y 和 v=Ax代入柯西-施瓦茨不等式，我们得到：

∣(y,Ax)∣≤∣∣y∣∣⋅∣∣Ax∣∣

由于 ∣∣x∣∣=1 ，我们 有 ∣∣Ax∣∣≤∣∣A∣∣（根据算子范数的定义）。因此，

∣(y,Ax)∣≤∣∣y∣∣⋅∣∣A∣∣

算子范数的定义：

注意上图定义中，在求最大值的时候是x在变化。

将∣(y,Ax)∣≤∣∣y∣∣⋅∣∣A∣∣不等式代入 ∣∣A∗y∣∣ 的表达式中，我们得到：

∣∣A*y∣∣=sup⁡∣∣x∣∣=1∣(y,Ax)∣≤sup⁡∣∣x∣∣=1(∣∣y∣∣⋅∣∣A∣∣)=∣∣y∣∣⋅∣∣A∣∣

但是，我们注意到 ∣∣A*y∣∣的定义与 y 的范数 ∣∣y∣∣无关（因为我们在求上确界时，y是固定的，而 x在变化）。

为了得到一个不依赖于 y 的上界，可以考虑 y的范数为1的情况（即 ∣∣y∣∣=1），这样我们得到：

∣∣A*y∣∣≤∣∣A∣∣当∣∣y∣∣=1

由于这个不等式对所有 ∣∣y∣∣=1 的 y都成立，因此我们可以得出：

∣∣A*∣∣=sup⁡∣∣y∣∣=1∣∣A*y∣∣≤∣∣A∣∣