共鸣定理,也称为一致有界性原理或巴拿赫-施坦豪斯定理,是泛函分析中的一个重要定理,用于论述一族有界线性算子为一致有界的条件。
在共鸣定理中,Tα(x) 中的 α指的是有界线性算子的索引,表示一簇有界线性算子中的某一个具体算子。α可以理解为算子T的下标,这个下标可以是自然数,也可以是实数。这些算子共同作用于巴拿赫空间 X上的元素 x,产生结果 Tα(x)。共鸣定理讨论的是这一簇算子的有界性条件,即当对每一个 x∈X,存在一个数集使得这一簇算子作用在 X上的所有 x 时,该数集是有界的,则这一族算子被称为一致有界。
在这个定理中,Λ代表一个集合,这个集合包含了所有从巴拿赫空间X到赋范线性空间Y的有界线性算子。Λ可以是自然数集合,也可以是实数集合。这些算子构成了一个算子族,记作Tα,其中α属于集合Λ。
共鸣定理断言,如果对每个x∈X都有supα∈A∣∣Tαx∣∣<∞,则算子族Tα是一致有界的。这个定理在泛函分析中有着广泛的应用,特别是在研究算子族的性质和行为时,它提供了一个重要的工具来确保算子族的整体有界性。
由于||Tα(x)||<∞表示的是算子Tα在某个点x有界,所以
共鸣定理的意思就是,若{Tα}点态有界, 则{Tα}一致有界。
上图提到的定理4如下: