‌逆算子定理是泛函分析中的一个重要定理，它指出在巴拿赫空间中，一对一的有界线性算子的逆算子也是有界线性算子。‌这一定理在泛函分析中扮演着关键角色，因为它反映了有界线性算子极为深刻的特征。逆算子定理的应用广泛，特别是在证明有界线性算子逆算子存在性和连续性时，其作用尤为显著。通过详细证明该定理，可以展示其在开映射和连续性上的应用，从而强调了逆算子定理在泛函分析中的基础性和重要性。逆算子定理是泛函分析最基本的定理之一，它为理解和应用泛函分析提供了坚实的基础‌。

以下是逆算子定理证明中用到的第二个引理。

上图提到的引理2如下：

引理3的证明：

所以引理3的意思大概就是，对于Banach空间X中的一个单位圆，经过有界线性算子B映射到

Banach空间Y中以后，其结果一定会覆盖一个半径任意小的圆。