在赋范线性空间中，如果一个子集是完备的，那么它的闭包将等于整个空间。完备性意味着该子集中的柯西序列收敛于该子集中的元素，也就是说，所有极限点都属于该子集本身，因此该子集的闭包包含了所有极限点，从而等于整个空间。 一个赋范线性空间的稠密子集是完备的，则这个子集的闭集就等于这个空间。‌ 要证明这个结论，我们可以从以下几个方面进行推导： ‌稠密子集的定义‌：如果一个子集S在赋范线性空间X中是稠密的，意味着S的闭包S‾等于整个空间X。这表明S中的任何序列的极限点都在S中，即S包含了所有极限点。‌完备性的定义‌：如果一个赋范线性空间是完备的，意味着它包含所有柯西序列的极限点。由于稠密子集已经包含了所有极限点，因此它自身也是完备的。‌闭集的定义‌：在赋范线性空间中，一个集合是闭集当且仅当它包含了所有极限点。由于稠密子集已经包含了所有极限点，因此它的 闭集就是整个空间X。以上结论也可以写为： 一个赋范线性空间的稠密子集A是闭集，则子集A就等于这个空间。‌ 这个结论可以通过反证法来证明。 假设存在一个赋范线性空间X，其稠密子集A是闭集，但A不等于X。 由于A是X的稠密子集，根据稠密子集的定义，A在X中是稠密的，即对于任何非空开集U⊆X，都存在某个点x∈U且x∉A。由于A是闭集，根据闭集的定义，Ac（即A的补集）是开集。但是，由于A在X中稠密，这意味着对于任何非空开集U⊆X，都存在至少一个点属于A和至少一个点属于Ac。这与Ac是开集的事实相矛盾，因为如果Ac 是开集，那么它应该不包含任何属于A的点。 因此，我们的假设不成立，即如果一个赋范线性空间的稠密子集是闭集，那么这个子集必须等于整个空间。 A在B中稠密，意味着对于B中任意一个元素，其环境中都包含了A中的元素。 也可以如下方法证明: 稠密的定义：如果一个集合在一个空间的任意一个开集中都存在元素，那么我们称这个集合在这个空间中稠密。设E是R的非空子集满足: 任给a,b∈R,存在z∈E,使得a