共轭算子是指在希尔伯特空间中，由线性算子诱导出的共轭空间之间的算子。具体来说，设A是一个线性算子，那么A的共轭算子A*是一个线性算子，满足对于任意的x和y，有(Ax,y)=(x,A*y)，其中(Ax,y)表示A作用在x上再与y的内积，而(x,A*y)表示x与A*作用在y上的内积。
由于A*是AA的共轭算子，因此对于任何向量x，我们有⟨Ax,Ax⟩=⟨x,A*Ax⟩，即假设y=Ax。
下面证明共轭算子（或称为伴随算子）的范数满足 ∣∣A∗∣∣≥∣∣A∣∣：
首先明确几个概念和性质：
共轭算子（伴随算子） A* 的定义：对于线性算子 A:V→W（其中 VV和 W是内积空间），其共轭算子 A*:W→V定义为满足 ⟨Ax,y⟩=⟨x,A∗y⟩ 对所有 x∈V,y∈W 的唯一线性算子。算子范数 ∣∣A∣∣的定义：通常定义为 ∣∣A∣∣=sup∣∣x∣∣=1∣∣Ax∣∣，其中 ∣∣x∣∣ 是 x在其所在空间中的范数。接下来进行证明：
第一步，考虑任意非零向量 x∈V，并令
（如果 Ax=0，则 ∣∣A∣∣=0，此时不等式显然成立）。
第二步，根据共轭算子的定义和性质，我们有：
⟨Ax,Ax⟩=⟨x,A*Ax⟩
第三步，将 y的表达式代入上式，得到：
第四步，利用Cauchy-Schwarz不等式（即 ∣⟨u,v⟩∣≤∣∣u∣∣⋅∣∣v∣∣），我们有：
第五步，由于 ∣∣Ax∣∣≠0∣∣，两边同时除以 ∣∣Ax∣∣，得到：
这里，利用了算子范数的定义，即 ∣∣A∗Ax∣∣≤∣∣A∗∣∣⋅∣∣Ax∣∣。
第六步，由于x是任意的非零向量，取 x使得 ∣∣x∣∣=1，从而得到：
这就完成了证明。注意，在证明过程中，我们默认了 Ax≠0，因为当 Ax=0 时，∣∣A∣∣=0，不等式自然成立。
