下面证明||Ah||=||A|| ||h||。
按照范数的定义:
用Ah代入上式,得到
图1
上式表示x≠0的情况下,||Ah||是|Ah(x)|的上确界,因此当||x||=1的时候,|Ah(x)|<=||Ah||。
同时,由图1看到,|Ah(x)|有可能取最大值||A|| ||h||,所以||A|| ||h||<=||Ah||。
综合以上得到||A|| ||h||=||Ah||。
注意这里的h是一个线性函数,A是线性算子,所以Ah=ch,这里的c是一个常数。
得到||Ah||=||ch||=c||h||,从而||A||=c。
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